Question

さくらもち

隣接3項間漸化式の問題です！｢両辺を2^n+1で割る｣とありますが、｢2^nで割る｣ではだめでしょうか？よろしくお願いします🙇🏻‍♀️

指針> 特性方程式の解が重解(x=α) の場合, 漸化式は
「次の条件によって定められる数列 {an} の一般項を求めよ。
573
a=0, a2=2, an+2-4an+1+4aカ=0
基本 118,123
an+2-aan+1=«(an+1-aan)
レ変形でき,数列 {an+1-Qan} は, 初項 a2-aa,公比αの等比数列であることがわかる。
よって
an+1- Qan=Q"-1(a2-aal)
の
これは,an+1=pantq" 型の漸化式(b.564 基本例題118)に帰着。
0の両辺を α"+1 で割ると
an+1
an
a2-uai
Qr+1
Q"
Q2
31
an
= bn とおくと
bnti-bn=
a2-Qai
一等差数列の形に帰着。
1€
n
種
の
解答
化
新化式を変形して
ゆえに,数列 {an+1-2an} は, 初項 a2-2a=2-0=2, 公比2
の等比数列であるから
an+1-2an=2·2"-!すなわち an+1-2an=2"
an+2-2an+1=2(an+1-2am)
Axー4x+4=0 を解くと,
(x-2)=0 から
x=2(重解)
(an+1= pantq"型は, 両辺
をg"*1 で割る(b.564 参照)。
n+
1
an+1
27+1
an
両辺を2"+1で割ると
27
2
an
1
- b,とおくと
2"
lan+1-Qn=d(公差)
bn+1-bn=
12
数列(bn}は,初項6.=D=0, 公差一の等差数列であるから
2
ai
1
からb、%30+(nー1).4=
1
(n-1)t学の眼め
2
Cn=2"bn であるから
1
a,=2".- (n-1)=(n-1)·2*-1
2

漸化式