教えてください。

56 第1章 例題21 数学的帰納法と極限 a²+5 (n=1, 2, 3, ...) (2)(1)で示した 1<a, 4 を利用できるように, m+1-1= a²+5 解答 (I) n=1のとき, α=4 より ①は成り立つ 数学的帰納法で (Ⅲ)n=k のとき,①が成り立つと仮定すると, 1<a≦4 +5 +54°+5 より 6 6 6 21 つまり、 Kan+- <4 6 したがって, n=k+1 のときも① は成り立つ。 よって、(I), (II)より, すべての自然数nについて 1<a≦4 が成り立つ。 3.各辺を6で割る。 2.各辺に5を加える A る。 (3)(2)で示した不等式を利用して、 例題17 (p.47) と同様にして極限値を求めればよい (1) 1<a,≦4... ① とおく. 6 0=4, Or+1=6 で定義される数列{a}について,次の問いに答えよ . (1) 1<a,≦4 を示せ. (3) lima を求めよ. 5 (2) ax+1-1≤ (an−1). 考え方 (1) 数学的帰納法を使う. n=k のとき, 1<a,S4 が成り立つと仮定して、 nk+1のときも成り立つことを示す。 (3)②より4-1s(._,-1) なんで 2条になるのです 2条になるので( **** 1 無限数列 57 -2-1) <)ある 第1章 S 10=4 これと (1) より つまり。 0<a.-153() \1 5\" -1の右辺を変 ここでlim3 うちの原理より =0 であるから, ③とはさみ 1-00 はさみうちの原理を 利用する lim (a,-1)=0 よって, lima=1 Focus 予想した lima, の値を利用せよ no より, lima+1=lim a²+5 (2) +1-1=- 02²+5 -1 mim 6 00 0 6 したがって. a= a²+5 6 これより α=1.5 (1) より a=1 「仮定した式について 1.各辺を2乗する。 注2)による誘導がない場合は,次のように考えるとよい. lima=α とすると, 漸化式 +1= a²+5 6 極限値をα とおいて, αの値を予想する. lima.=ab, lim4+1=α a-1 6 =(a+1)(a) m ここで、1<a.4より、 a.+1 4+10 6 6 a.+1 5 6 6 (a+1)(a,-1)≤(a−1) よって, a1= (a,-1)② m +1-1と am - 1 の 100 関係式にする. 因数分解して次数を 下げるのと同時に A (-1) を作る. 各辺に1を加えて 6 で割る。 する 30 131≤lima, a≤4 と予想できるので, lima=1 を示す. 注》例題21の(2)で出てくるという値は何を意味するだろうか.また,例題 21 では,上 手に不等式の評価に持ち込み,その後,その不等式を繰り返し 最終的には「はさ みうちの原理」を用いて{a}の極限値を求めている. このことを次ページの解説で もう少し分析してみよう. 練習 an>1より、 a1= 0, an+1= 21 a2+3 4 (n=1, 2, 3, ......) 10-1>0 **** で定義される数列{a}について、 次の問いに答えよ。 (a) F (8) (1) 0≦a<1 を示せ. (3) liman を求めよ. 00 (2)1-ant <= を示せ. 1-an 2 →p.6111

一本目二本目共に何故そのように表せるのかを教えてください。

例題 17 漸化式と極限 (3) ( a1=1, an+1=√2an+3 (n=1, 2, 3 ......) で定義される数列{a}について,次の問いに答えよ. (1) 数列 {a} が極限値αをもつとき, αの値を求めよ. (2) (1)のαについて, la,+i-als/la-al を示せ. 無限数列 47 **** 第1章 (3) lima=α であることを示せ. 11-0 考え方 (1) lima= α のとき, lima,+1=α であるから, ya y=x/ →00 これを与えられた漸化式に代入して考える. y=√2x+3 求めたαが条件に合うか確認が必要 (2)(1) で求めたα を代入し, 漸化式を用いて不等式の 左辺を変形する。 10 a2a3 TI BM (3) 実際にlima を求める はさみうちの原理を利用する. (=1 解答 (1) lima=α とすると, liman=liman+1=α なので, 無理方程式 →80 漸化式 α+1=√2a+3 より, a=√2+3 両辺を2乗して α=2α+3 より ......1 α=-1,3 α=-1 は ①を満たさないから, α=3 (2)|a,+1-3|=|v2a,+3 -3|=| (2a,+3)-9 1 (p.98 参照) a²-2a-3=0 (a+1) (α-3)=0 α=-1, 3 が①を満 √2a+3 +3 たすか確認する. |2a-6| √2a+3 +3 2 lan √2a+3+3 lan (3)(2)より14,-3|≦12/21an-1-3| *(1)+ よって, |a,+1-3|23|42-31は成り立つ. VII 23 2\n-1 la-31 21 分子の有理化 √2+30 より √2a,+3+3≥3 1 √2a,+3+3 3 (2) をくり返し用いる. |a-3|=|1-3| |=|-2|=2 Focus したここで=1 より, 2, lim 2-1 2\n-1 = 0 とはさみうちの原理より, lim|an-3|=0 よって, lima=3 となり、題意は成り立つ。 liman=α⇒ liman+=α n→∞ n→∞ a=1, an+1=√an+2 (n=1,2,3 ………) 練習 17 で定義される数列{an} について, lima を求めよ. ➡p.619) →∞ ***

何故rに絶対値がついているのですか？

例題 8 {r} の極限 (2) キー1 のとき, 極限値 lim n→∞ rn+1 22+1 を求めよ. 1 無限数列 33 **** [考え方 {r"}の極限は、の大きさで場合分けする。 r>1 と <−1 のとき,つまり, |r|>1 のとき,{r} は発散するが, {(-)}は0に収束する (>1のとき+1) ことを利用するとよい. 解答 (i) |r|<1 のとき < { r"}の極限〉 r>l limr"=8 n∞ N→∞ r=1 limr"=1 |r|<1 limr"=0 n→∞ r≦-1{r"} は振動 limr"=0 より, lim- n→∞ (ii) r=1のとき limr"=1 より (ii) |r|>1 のとき lim- n→ +1 =lim 001 p" +1 -=0 r0 0+10 24+1 mn+1 =lim →∞ rogn 1 "+12 1 < 1 より, lim 818 (4)=0 1.1 1 1+1 2 r=−1 のとき, r"+1=0 (nが奇数) となるので,キ-1 mn+1 したがって, lim r =lim +1 =1 1+() 分母,分子を ” で 割る. (|r|<1) r =r 1+0 心 よって, (i)~(Ⅲ)より, lim r"+1 (r=1) r(|r|>1) Focus |r|<1 のとき r”→0 (n→∞) n → |r|>1のとき (1) 0(n→∞) 注> ()については次のように考えてもよい. >1 のとき, lim|r"|=∞ より, lim- =0 であるから,(与式)=lim →∞ →∞ 11-8 10.(1+1)) r 第1章

4行目の恒等式はどこから出てきたんですか？

第2節 いろいろな数列 23 第1章 数列 答えよ。 めよ。 第2節 いろいろな数列 6 和の記号 of 数列には、これまでに学んだ等差数列, 等比数列のほかにも、いろいろなもの がある。ここでは、記号を使っていろいろな数列の和を求める方法を調べよう。 ・求めよ。 5 A 自然数の2乗の和 Link イメージ と 次のような1からnまでの自然数の2乗の和を求めてみよう。 S=12+22+32 +……………+n .... そのためには,次の恒等式を利用する。 k-(k-1)=3k2-3k+1 kに1からnまでを順に代入すると 10 k=1 k=2 Link 左辺だけ加えると 13−0°=3・12-3･1 +1 13-03 2°-13=3・22-3･2 +1 33-23 33-23=3・32-3・3 +1 k=3 資料 +) 3-(n-1) n3-03 15 k=n n-(n-1)=3•n2 -3 ・n +1 これらn個の等式の辺々を加えると n=3(12+22+32 +....+n²)-3(1+2+3+....+n)+n すなわち よって 20 すなわち n=3S-3.11n(n+1)+n 6S=2n3+3n(n+1)-2n=n(n+1)(2n+1) S=1mon(n+1)(2n+1) したがって1からnまでの自然数の2乗の和は、次のようになる。 1 +2 +32 +......+n2 =1/12n(n+1)(2n+1)

青チャートの問題について教えてください。 (2)のyを求める過程で、xを消す必要があると思うのですが この際式を足し算してxを消さなければならない理由が分かりません。 実際に引いてやってみると、確かに矛盾した式が生まれてしまいます。 初歩的な質問でしたらすみません。 よ... 続きを読む

基本 例題 33 不等式の性質と式の値の範囲(2) 00000 x, y を正の数とする。 x, 3x+2yを小数第1位で四捨五入すると, それぞれ 6 21 になるという。 (1)xの値の範囲を求めよ。 (2)yの値の範囲を求めよ。 基本32 指針 まずは、問題文で与えられた条件を, 不等式を用いて表す。 解答 引く。 例えば, 小数第1位を四捨五入して4になる数αは, 3.5以上 4.5未満の数であるから, αの値の範囲は3.5 ≦a <4.5 である。 (2) 3x+2yの値の範囲を不等式で表し, -3xの値の範囲を求めれば, 各辺を加えるこ とで2yの値の範囲を求めることができる。 更に, 各辺を2で割って, yの値の範囲 を求める。 (1) xは小数第1位を四捨五入すると6になる数であるか ら 5.5≦x<6.5 (2) 3x+2y は小数第1位を四捨五入すると21になる数で 5.5 x 6.4, 5.5x6.5 などは誤り! あるから 20.5≦3x+2y<21.5 ② ① の各辺に-3を掛けて -16.5≧-3x> -19.5 すなわち -19.5<-3x≦16.5 ② ③ の各辺を加えて、 20.5-19.5<3x+2y-3x<21.5-16.5 したがって 1 <2y<5 (*) 各辺を2で割って12<x<2/2 5,5≦x<6.5 20.5≦3x+2y<21.5 16.5 = 3x <19.5 4 = 24 < m 2 おかしい。 負の数を掛けると, 不等 号の向きが変わる。 不等号に注意 (検討参照)。 正の数で割るときは, 不 等号はそのまま。 65 1 1章 章 41次不等式

まったくもってこの問題がわかりません💦 解説おねがいします！

PA1 表 3 面積が等しい三角形 PA23 て、正しければ 右の図で、四 A D をつけなさい。 角形ABCD は F AD/BCの台形で、 辺BC上に 061 B₁ AE/DCとなる点 E C ある。 長方形は、 正方 のち 教 p. 149 Eをとり、AEとBDの交点をF とする。 次の問に答えなさい。 (1)△DFCの面積が30cm 2 のとき、四角 ⑩形 AECDの面積を求めなさい。 (1) 平(S) 特別 1章 式の計算 2章 連立方程式 3章 1次関数 4章 平行と合同 1章 式の計算 2章 連立方程式 3章 1次関数 4章 平行と合同 5章 (2) 図のなかに示されている三角形のうち、 △FBC と面積が等しい三角形をいいな さい。 AB

最低次数の文字について整理？がよくわからなくて （1）x二乗は2次、xyも2次？2xは一次？yも一次？かと思ったんですけどわからないです😭😭

31 基本 例題 14 因数分解 (最低次数の文字について整理) 00000 次の式を因数分解せよ。 (1) x2+xy+2x+y+1 (2) x3+3x2y+zx2+2xy2+3xyz +2zy2 (1) p.24 基本事項 2 1章 CHART & SOLUTION MO 2 複数の文字を含む式の因数分解 最低次数の文字について整理 ! (1)xについて 2 次式, yについて1次式。 そこでyについて整理する。 (2)xについて 3 次式, yについて2次式, z について1次式。 そこでzについて整理する。 因数分解 うな式 解 Vx (1) (1) x2 +xy+2x +y +1 yについて整理。 よい =(x+1)y+(x2+2x+1) =(x+1)y+(x+1)2 (+α)(-v- x+1が共通因数。 =(x+1){y+(x+1)} 人と 3 する。 おくと =(x+1)(x+y+1) (2)x3+3x2y+zx2+2xy2+3xyz+2zy2 {(I+vS)+x) 共通因数をくくり出す。 (1+c+{ } の中を整理。 EL +y( =(x2+3xy+2y2)z+x+3xy+2xy2 ◆zについて整理。 S- (5) =(x2+3xy+2y2)z+x(x2+3xy+2y2) =(x+y)(x+2y)(x+z) =(x2+3xy+2y2)(z+x)(2)(1+v)+2(1 ((S-)+x) x2+3xy+2y2 が共通因数。 共通因数をくくり出す。 x2+3xy+2y2 も因数分解。 式を整理。 INFORMATION (1)では,xについて整理すると x2+(y+2)x+y+1 となり, これは x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b) を利用して因数分解できる。 また,項の組み合わせを工夫して x2+xy+x+x+y+1=x(x+y+1)+(x+y+1) から共通因数 x+y+1 をくくり出す方法もある。 しかし, (2) のように式が複雑にな ると,項をうまく組み合わせることも大変である。 一般に,式は次数が低いほど因数分解しやすい。 上の CHART & SOLUTION で示 した 「最低次数の文字について整理」 は, どのような式にも通用する。 1次式 Ax+B が因数分解できるならば, A, Bに共通因数がある。 PRACTICE 14° 次の式を因数分解せよ。 (1) 2ab2-3ab-2a+b-2 (3) a(a+b)-c(b²+c²) (2) 法政大 (2) 8x3+12xy+4xy2+6x2+9xy+3y2 (4) -3x+(9y+z)x2-3y(z+2y)x+2y2z

数2の繁分数式の計算の問題で簡単にせよ。という青チャートの問題なのですが解答を見ても理解できないです。教えてくださいお願いします。

(2) 1 1 2 2+a

この問題の19と23の（2）で、19の解説がよく分からないのと⑤はどうしたら正解になるのか教えて欲しいです！それと、23が何をしてるのかよく分からないので教えてください！！

A 17 x が次の値をとるとき, x+2|+|x-2| の値を求めよ。口 (1)x=3 (2) x=1 (3) x=-4 (4)x=√2 p.41 2 1章 3 18 次の式を計算せよ。 (1) (2+√3-√7) (2) (1+√2+√3) (1√2-√3) 実 1 (3) (√2+1)+(√2-1) (4) 2+1√5+ √ √ 5 + √6+ √6 + √ 数 21, 23, 24 B 19 次の計算は誤りである。 ①から⑥の等号の中で誤っているものをすべて あげ,誤りと判断した理由を述べよ。 × 8=√64=√2°=√(-2)。=√{(-2)^}=(-2)=-8 ① 2) (3) 20® x = √2+√3 のとき,x2+ ⑤⑥ [宮崎大〕 木 22 x4+ x6+ の値を求めよ。 [立教大] x4, x6 .6 25, 26, 27 21 ③ 次の場合について,-√(-α)2+√a²(a-1)の根号をはずし、簡単にせよ。× (1) a≧1 (2)0≦a<1 22° (1) I+√2+√3+1+√2-√3 22 (3) a<0 - √2+√3-1-√2-√3 1 を簡単 にせよ。 [法政大] a a+b (2) ab=1 + で定義する。(√6+1)2を分母に根号を含 a-b a まない数で表せ。 × 24,28 不 230 a=2-√3 とするとき,次の値を求めよ。 (1) a²-4a+14 ? (2) a3-6a²+5a+1× JA 240 x+y+z=2√3,xy+yz+zx=-3,xyz=-6√3 のとき,x+y+z2, x+y+z の値をそれぞれ求めよ。 x HNT 20 p.13の3次式の展開の公式および, p. 50 INFORMATION 参照。 22 (1) 前後2項ずつ通分して計算する。 26 23(1) α-2-√3 と変形して両辺を2乗すると, 根号が消えるので計算がらくになる。 として αに(1)の結果を代入するなどして, 与式をαの1次式で表す。

この2つの公式の使い方の違いがわかりません。わかりやすく教えてください！早めにお願いします！

重複組合せ 一般に, 異なるn個のものから重複を許して個取って作る組合せの は,個の○と (n-1)個のを並べる順列の総数に等しい。 すな ■ {r+(n-1)}個の場所から個の場所を選ぶ方法の総数に等しい。 って, その総数は {r+(n-1)}! r!(n-1)! すなわち n+r-1Cr 第1章