Question

lim-cat

一本目二本目共に何故そのように表せるのかを教えてください。

例題 17 漸化式と極限 (3)
(
a1=1, an+1=√2an+3 (n=1, 2, 3 ......)
で定義される数列{a}について,次の問いに答えよ.
(1) 数列 {a} が極限値αをもつとき, αの値を求めよ.
(2) (1)のαについて, la,+i-als/la-al を示せ.
無限数列 47
****
第1章
(3)
lima=α であることを示せ.
11-0
考え方 (1) lima= α のとき, lima,+1=α であるから,
ya y=x/
→00
これを与えられた漸化式に代入して考える.
y=√2x+3
求めたαが条件に合うか確認が必要
(2)(1) で求めたα を代入し, 漸化式を用いて不等式の
左辺を変形する。
10
a2a3
TI BM
(3) 実際にlima を求める はさみうちの原理を利用する.
(=1
解答
(1) lima=α とすると,
liman=liman+1=α なので,
無理方程式
→80
漸化式 α+1=√2a+3 より, a=√2+3
両辺を2乗して α=2α+3 より
......1
α=-1,3
α=-1 は ①を満たさないから,
α=3
(2)|a,+1-3|=|v2a,+3 -3|=| (2a,+3)-9
1
(p.98 参照)
a²-2a-3=0
(a+1) (α-3)=0
α=-1, 3 が①を満
√2a+3 +3
たすか確認する.
|2a-6|
√2a+3 +3
2
lan
√2a+3+3
lan
(3)(2)より14,-3|≦12/21an-1-3| *(1)+
よって, |a,+1-3|23|42-31は成り立つ.
VII
23
2\n-1
la-31
21
分子の有理化
√2+30 より
√2a,+3+3≥3
1
√2a,+3+3 3
(2) をくり返し用いる.
|a-3|=|1-3|
|=|-2|=2
Focus
したここで=1 より,
2, lim 2-1
2\n-1
= 0 とはさみうちの原理より,
lim|an-3|=0
よって, lima=3 となり、題意は成り立つ。
liman=α⇒ liman+=α
n→∞
n→∞
a=1, an+1=√an+2 (n=1,2,3 ………)
練習
17
で定義される数列{an} について, lima を求めよ.
➡p.619)
→∞
***

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

希

一つ目は、分母の√(2a_n+3)を消しているからです。分数は、分子が同じなら分母が小さいもののほうが大きくなるという性質を利用しています。√(2a_n+3) ≧ 0なので、√(2a_n+3) + 2 ≧ 2となるため
2/√(2a_n+3) ≦ 2/3
が成り立ちます。

二つ目は、(2)で得られた不等式を繰り返し使っているからです。(2)で得られた|a_{n+1} - 3| ≦ 2/3|a_n - 3|という不等式は全ての自然数nで成り立ちます。なので、
|a_n - 3| ≦ 2/3|a_{n-1} - 3|であり、右辺の|a_{n-1} - 3|に関して
|a_{n-1} - 3| ≦ 2/3|a_{n-2}- 3|
が成り立つので、結果として
|a_n - 3| ≦ (2/3)²|a_{n-2} - 3|
が成り立ちます。これを繰り返して、
n→n-1→n-2→･･･→2→1
としていくことでその不等式が得られます。

lim-cat

ありがとうございます😭理解できました。2つ目の考えって結構一般的なものですか？頻出ですか？

希

そもそも(2),(3)のような問題が頻出です。特に(3)のような何回も不等式を使う解き方は、極限の問題では頻出です。