どうか教えて下さい、、 全てわからないです、

X3/8 重要 例題 166 正四面体と種々の計量 00000 1辺の長さが4の正四面体 ABCDがあるのでの値をそれぞれの式で表せ (1) A から BCD に下ろした垂線AHの長さと (2) 正四面体 ABCD の体積 (3) (1) のHに対して,Hから△ABCに下ろした垂線の長さ 基本165) 指針▷> 空間図形の計量では、直線と平面の垂直(数学A)の性質を使うことがある。 直線が平面α上のすべての直線に垂直であるとき, 直線んは αに垂直であるといい, hiα と書く。 このとき, んを平面α. の垂線という。 また、平面の垂線については、次の性質が重要である。 なお,こ の性質は (2) の別解で利用する。 平面α上の交わる2直線をℓ m とすると hil him ならば h⊥α すなわちんがα上の交わる2直線ℓに垂直ならばんは上のすべての直線と垂直 である。 これらのことを踏まえて、以下のように考える。 (1) 直線 AH は平面 BCD 上のすべての直線と垂直であるから AH⊥BH, AH⊥CH, AH⊥DH ebp20-M-KO+MO- || ここで、 直角三角形 ABH に注目する (立体から平面図形を取り出す) と AH=√AB2-BH? よって まず BH を求める。 (2) 四面体の体積=1/138×(底面積)×(高さ)に従い 1/3･ABCD・AH と計算。 (3) △ABCを底面とする四面体 HABCの高さとして求める。 解答 A (1) AH⊥ABCD であるから, △ABH, ACH, △ADHは いずれも∠H=90°の直角三角形であり AB=AC=AD, AHは共通 ゆえに AABH=AACH=AADH -------D B H よって, BH=CH = DH が成り立つから, Hは△BCD の外 接円の中心であり, BH は △BCD の外接円の半径である。 ゆえに, △BCD において, 正弦定理により a =2BH sin 60° a a よって 2sin 60° したがって a AH=√AB2-BH2 a ² - ( 4² ) ² = √ 6 a 16 BH= 201 √3 1v3 √6 ･・a・asin 60°= (2) ABCD=. -α² であるから, (1) より 11/12/0 AH-1 40².5=222² 3 a √2/ 1.ABCD・AH= 12 a³ 3 CDの中点をMとすると △ACD, ABCD はともに正三角形であるから線分 AMLCD, BMLCD よって、 直線 CD は平面 ABM に垂直である。 √√3 AM=BM=BCsin60°= - a 2 ここで △ABM について, 底辺を AB とすると, 高さは √(√²³ a)²-(2)² = √2 a 2 √2 297 SABM-1-a2a=12² △ABM= よって 4 ゆえに,正四面体 ABCD の体積は 2×(12.AABM-CM)= 23.2.2-12 √2 2X -a³ (3) 3つの四面体 HABC, HACD, HABD の体積は同じであ るから、(2) より,四面体 HABC の体積は 1 √2 √2 -a³= 3 12 36 /2 求める垂線の長さをんとすると 1 36 -a³= ･・△ABCh 3 △ABCの面積は (2) 求 めたABCDの面積と同じ。 よって h=α°•3•- 4 √3 a² √6 36 a 9 (1)正三角形において, その外接円の中心 (外心)と重心は一致する。 このことを利用して 次のように考えてもよい。 なお, 重心については数学Aで詳しく学ぶ。 △BCDは正三角形であるから, 外心H は ABCD の重心でもある。 線分 CD の中点をMとすると B BH-BM-√3 a したがってAH=√AB²-BH2 3 M D a²_ a a V 3 BH: HM=2:1 SL 練習 1辺の長さが3の正三角形ABCを底面とし, PA=PB=PC=2の四面体 0166 PABCがある。 辺AB上の点Eと辺AC上の点Fが, AE = AF = 1 を満たす。 (2) 点Aから3点P, E,F を通る平面に下ろした垂線の長さんを求めよ。 (1) 四面体 PAEF の体積を求めよ。 Op.264 EX122 を忘れないように! /M 3 B M 257 √√3 1-HA:19 A R ◆ △ABM を底辺とする三角 錐を2つ合わせたものとと らえる。 4章 19 三角比と図形の計量

全然わかりません、、どうか教えてほしいです

X 3/8 重要 例題 169 球と球に内接する正四面体の体積比 〔類 半径1の球0に正四面体 ABCD が内接している。このとき, 次の問いに答えよ。 ただし、正四面体の頂点から底面の三角形に引いた垂線と底面の交点は,底面の 類 お茶の水大 LAS VER 重要 16 三角形の外接円の中心であることを証明なしで用いてよい。 (1) 正四面体 ABCDの1辺の長さを求めよ。 (2) 球Oと正四面体 ABCD の体積比を求めよ。 糖 指針 (1) p.255~p. 257の例題 165, 166と同様に,立体から 平面図形を取り出して考える。 ここでは、正四面体の1辺を、頂点から底面に垂線AHを下ろしてできる直角に 1 √2 -×(底面積)×(高さ) ABH の斜辺ととらえ, 3 1 -XABCDXAH 12 3 (2) 正四面体 ABCD の体積は (p.256~p.257 重要例題 166 参照) 解答 (1) 正四面体の1辺の長さをaとする。 球に正四面体が内接すると いう場合,正四面体の4つ の頂点は球面上にある。 正四面体の頂点AからABCD に 垂線 AH を下ろすと, H は ABCD の外接円の中心である。 0 ABCD において, 正弦定理により (B H a a ∠DBC=60°CD=4であ BH= 2sin 60° √3 よって AH=√AB2-BH るから, △BCD の外接円 の半径をRとすると CD √√6 a = √²²-( 4 )² = √5₁ a =2R sin ZDBC 直角三角形OBH において, BH² + OH² = OB2 から a ()*+ (0-1)²-1 1021²= a(a-²√/6)=0 =1 a- ゆえに 3 αの2次方程式を解く a>0であるから a= 2√6 3 (2) 球Oの体積は 4 4 π13= π, 正四面体 ABCD の体積は 3 正四面体の体積 12 1/1×ABCD ×AH=1/3×1/12 (225/68 ) △BCD 3 · √/ sin 60°× √62√6 3 2=2√56 とおくと . a 3 3 3 8√3 √2 48√6 8√3 27 12 27 27 したがって 1/31 : 827-2√3 4 3" 球の体積は、正四面体 ABCD の体積の約8倍。 練習 1辺の長さがαの正四面体に球が内接している。 169 (1) 球の半径をaを用いて表せ D 正 項 空間図形 四面体と珪 位置関係に 例えば,「 球は四 に接する ここでは、 辺に接す 半径 1 長さ す t

解き方全てわからないです、、 どうか教えてください！

X3/16 重要 例題 170 曲面上の最短距離 1 とする。 右の図の直円錐で, Hは円の中心,線分 AB は直径, sin 0= 3 OH は円に垂直で, OA=a, A B=1 とするとき, B 点Pが母線 OB 上にあり, PB= 基本149 点Aからこの直円錐の側面を通って点Pに至る最短経 路の長さを求めよ。 指針 直円錐の側面は曲面であるから, そのままでは最短経路は考えにくい。 そこで、曲面を広 側面の展開図は扇形となる。 → げる つまり 展開図で考える。 なお、平面上の2点間を結ぶ最短の経路は, 2点を結ぶ線分である。 解答 AB=2r とすると,△OAH で, AH =r, ∠OHA = 90°, r_1 sin= であるから a 3 B 側面を直線OA で切り開いた展開図 B は、図のような, 中心 0, 半径 PERTHO A' する正 OA=αの扇形である。 x A' (A) A 中心角をxとすると, 図の弧 ABA' の長さについて 0 DEAR x 2ла• =2πr DICD 360° 弧ABA' の長さは、底面の 円Hの円周に等しい。 614 GACY r_1 10 2017-1234 であるから x=360° -=360°• - 0°• 1/3 = =120° a 1 ① ここで,求める最短経路の長さは、図の線分 APの長さである 2点S, T を結ぶ最短の経路 から、△OAP において, 余弦定理により, AP2 = OA2+OP²-20A ・OP cos 60° は2点を結ぶ線分 ST 2 = a ² + ( ² = a)² - ²a + ²/3 a ² =²2² = ²/1 a ² 2 1 BBC 2a. 7 3 ・a・ 9 AP>0であるから 求める最短経路の長さは √7 S a 練習 1辺の長さがαの正四面体OABC において, 辺AB, 170 BC, OC 上にそれぞれ点P, Q, R をとる。頂点Oから (3) P, Q, R の順に3点を通り,頂点 0 長さを求め ?62 A 15/0₂ a 3 H

全体って、どういう意味ですか？

倍数の個数 2016 基本例題 1 (2)5または8の倍数 の栄養の 100 から 200 までの整数のうち,次の整数の個数を求めよ。 (1) 5 かつ8の倍数 p.97 基本事項 (3)5で割り切れるが8で割り切れない整数 (4)5と8の少なくとも一方で割り切れない整数 のタイプ。 →n(A∩B) 3 指針▷ (1)5の倍数かつ 8の倍数 58の公倍数であるから, 最小公倍数 40の倍数の個数を求める。 (2)5の倍数または8の倍数→n (AUB) のタイプ。 個数定理の利用。 少なくとも (4) 58の少なくとも一方で割り切れない数→n (AUB) のタイプ。 (3) (A∩B)=n(A) -n (A∩B) のタイプ。 「●で割り切れる」=｢●の倍数」 一方」口コ ド・モルガンの法則 AUB ANB が使える。 n (A∩B)は(1) で計算済み。 でもいい。 ココからチウ注意 (4) は (2) の補集合ではない。 (2) のAUB の補集合は AUB=ABである。 こっから 解答 U,A,Bはどんな べつに あるかを記す。 いくら 100から200 までの整数全体の集合をひとし,そのうち5の倍 数,8の倍数全体の集合をそれぞれA,Bとすると 5･40},B={8･13, 8･14, ., 8･25} ・は積を表す記号であり A={5・20,5・21, ･･･, 100=8・12+4 ゆえに n(A)=40-20+1=21, n(B)=25-13+1=13 5と8の最小公倍数は (1) 5 かつ8の倍数すなわち 40の倍数全体の集合は ANB で あり A∩B={40.3, 40･4,40･5} よって n(ANB)=3 ( 25 または8の倍数全体の集合は AUBであるから n(AUB)=n(A)+n(B)-n(ANB) =21+13-3=31 (3)5で割り切れるが8で割り切れない整 (3) - U 数全体の集合は ANB であるから A n(ANB)=n(A)-n(ANB) =21-3=18 (からず4) 5と8の少なくとも一方で割り切れな い整数全体の集合は AUBであるから n (AUB)=n(A∩B) 全体って =n(U)-n(ANB) なに? =(200-100+1)-3=98 (+(A0) 1 から 100 までの整数のうち、次の整数の個数を求めよ。 (1)4と7の少なくとも一方で割り切れる整数 (2) 4でも7で割り切 298 練習 ②1 ANB (4) [1]]]] A B 0 ANB 100=402+20 ST3610X 個数定理 ANBはAからANBL 除いた部分。 AMI ▼ド・モルガンの法則 AUB=A∩B ズーム UP 注意 ズームU の内容が 個数定 例題1で よいが, できない 個数定理 個数定 B AUER ド・モ 個数定 U:100 かつ のよう (1) Ar (3) 5 8 U n 集 1か よ 例景 そ合 16

ほんっとにわかんないです！教えていただけますか？

×3/13 X5/ 301 重要 例題3 集合の要素の個数の最大と最小 集合ひとその部分集合 A, B に対して, n(U)=100, n(A)=60, n(B)=48 とす る。 [藤田保健衛生大] (1) n (A∩B) の最大値と最小値を求めよ。 (2)(A∩B) の最大値と最小値を求めよ。 基本 1,2 指針 (1) 個数定理 n (A∩B)=n(A)+n(B) -n (AUB) , -U(100)- (A)+n(B)=60+48=108 (一定) であることから, A(60) ANBANB n (AUB) が最大のとき, n(A∩B)は最小 n (AUB) が最小のとき, n(A∩B)は最大 となる。下の解答のような図をかいて考えるとよい。 (AUB) が最大となるのは, n(A)+n(B)>n(U)であ A∩B 去果を利用 る。 るから、AUBUの場合である。 また, n (AUB) が最小となるのは, A,Bの一方が 他方の部分集合となっている場合である。 (2) 右上の図のBに注目すると n(B)=n(A∩B)+㎖ (A∩B) ゆえに ここで, (1) の結果を利用する。 001 (3) SO 解答 AUB=U 801)-(U) (1) n(A)+n(B)> n (U) であるから, AUB = U (A∩B) は, AUB=Uのとき最 小になり ⇔A∩B=Ø n(ANB)=n(A)+n(B)−n(U) A∩B 個数定理を利用。 = 60+48-100=8 B(48) にも注意! n (A) > n (B) であるから n (A∩B) は, ASBのとき最大に --------- MADB⇔A∩B=B なり n(A∩B)=n(B)=48 HAADBActa S よって 最大値 48, 最小値 8 -U (100) (2) (A∩B)=n(B)-n (A∩B) <検討 =48-n (A∩B) B(48) (2) 不等式 (数学Ⅰ)を用いて vill 考えてもよい。 よって, n(A∩B) は, A(60) すなわち, (1) から n (A∩B) が最大のとき最小, 8≤n(ANB) ≤48 ANB n (A∩B) が最小のとき最大 -48≤-n(ANB) ≤-8 となる。 (1) の結果から, 48-48 ≦48-n (A∩B) ≤48-8 最小値は 48-48=0, ゆえに 0≦n (A∩B)≦40 最大値は 48-8=40 R 0-(8) ca-(A) 02-(OUBUN) GUUF}n By dun 練習 デパートに来た客100人の買い物調査をしたところ, A商品を買った人は 80 人, 3 [ア][ 値はイ B商品を買った人は70人であった。 両方とも買った人数のとりうる最大値は である。また、 両方とも買わなかった人数のとりうる [久留米大] (p.305 EX2 与えた若い を作る から 「 好きで ない」を引 ーガンの法則 B=AUB てもよい。 る方針で のように cとすると 〒35=10 n(ANB)=48-n(ANB) -U(100). B(48) 章 集合の要素の個数 1 w

この解法で、2枚目の問いを解いて欲しいです！

CAST よって, 求める道順はC1XgC4=3×70=210 (通り) (3) Pを通る道順は 5C2×5C2=10×10=100 (通り) 462-100=362 (通り) よって、求める道順は 検討 書き込んで求める 右の図のような街路で, P までの道順がか通り q Q までの道順が α 通り あれば,Xまでの道順は, p+g 通りである。 7 28 74 145 道順の集合をQと 1 B 287 このことを用いて,例題 (4) のPとQの両方を通らない経路の数を書 き込んでいくと,〔図ア]のようになり,287通りであることがわかる。 また,この数え上げによる考え方は, [図イ] のような道路の一部が欠けて モルガンの注意 いる場合に有効なことが多い。 なお, [図ア]と[図イ]の街路図は同じもの 6 |21 46 |71 1 142 N 5 15 25 25 1 71 4 10 1 である。 1 Qを通る) 形を三 A Rit D Trese Ser 練習 302| P 16 10 15 13 4 15 1 1 1 1 〔図ア] 2 25 10 B ると ↑→↑→→→↑↑→↑↑ となる。 46 21 6 1 A Q X p+q B O か P 〔図イ] B 5組 合 合せ

なぜこれで求まるのかを教えていただけますか？

348 5/18 基本 例題 33 重複組合せの基本 0000 (1) 1,2,3,4の4個の数字から重複を許して3個の数字を取り出す。このとき 次の問いに答えよ。 ただし, 含まれない数字や文字があってもよいものとする。 作られる組の総数を求めよ。 (2) x,y,zの3種類の文字から作られる6次の項は何通りできるか。 p.347 基本事項 重要 35 指針 ☆やり方は を直ちに使用してもよいが,慣れないうちはと 基本事項で示した„Hy=C 違いやすい｡ 次のように ○と仕切りによる順列として考えた方が確実。 分かるが、 なぜこれで (1) 異なる4個の数字から重複を許して3個の数字を取り出す。 ........ 求まるのかが →3つの○と3つの仕切りの順列 C よく分からない。 (2) 異なる3個の文字から重複を許して6個の文字を取り出す。 →6つの○と2つの仕切りの順列 果 ON 解答 (1) 3つので数字, 3つので仕切りを表し、 (1) 例えば,○○| HERMERIA 12 目の仕切りの左側に○があるときは )を表 数字 1

2の、別解の解き方がわからないです！ 詳しく教えていただけますか？

X5/2 10 (2 基本例題 29 不等式の証明 (絶対値と不等式) 次の不等式を証明せよ。 00000 ①1 la+bl≦|a|+|b| lal-b|sla-bl1000 p.38 基本事項 4. 基本 28 S A:基本的に、ブソウにとけばよい。 ⓐ(1)は反対でやってれ? OLUTION 2人ならであるんだーって思うのでOKです。 似た問題 1 結果を使う 2② 方法をまねる (2) ag-bでおきかえよう とするアイデアはどこから (1) 絶対値を含むので、このままでは差をとりにくい。 [AP=A2 を利用すると, 絶対値の処理が容易になる。 よって,平方の差を作ればよい。...... [ (2) 不等式を変形すると |a|≦la-61+16 (1) と似た形 ← そこで,(1) の不等式を利用することを考える。の方針 Oath =(a+b² 解答 xlatbl = atb. (1) |a|+|62-la+b1=(|a|+2|a||3|+162)-(a+b)2 [inf. A≧0 のとき Nathatb=a²+2ab+b2-(a²+2ab+b2) |-|A|≦A=|4| =2(ab-ab) ≥0 ...... A<0 のとき x(1) -|A|=A<|A| しまって (a+b=(|a|+|6|)² であるから一般に |a+b≧0,|a|+|6|≧0であるから -|A|SASA |a+6|≦|a|+|6| 更に,これから 30 $=x√&st 別解-|a|≦a≦|al, -16|≦b≦|6|であるから |A|-A≥0, |A|+A≥0 辺々を加えて __(|al+16)≦a+b≧la|+|6| of+s |a|+|6|≧0であるから la+b≦|a|+|6| ◆c≧0 のとき -c≤x≤c = |x|≤c (2) (1) の不等式の文字α を a-b におき換えて そのとき x≤-c, c≤x | (a-b)+6|≦la-6|+|6| $30 $=1, @[x]c |a|≦|a-6|+|6| よって ゆえに lal-lb|sla-bl 別解 [1] |a|-|6| < 0 すなわち |a| <|6| のとき (左辺)<0, (右辺)>0 であるから不等式は成り立つ。 [2] |a|-|6|≧0 すなわち ! la-b²²-(al-|b)=(a-b)²-(a²-2|ab|+b²) 号付録=2(−ab+lab)≧0 よって (al-b)²≤la-b1² |a|-|6|≧0, la-6|≧0であるから alal-lb|sla-bl=2007 CHART O 47 ものは存在するから 1章 (2) 2 2②の方針が負 の場合も考えられるの ≧のときで、平方の差を作るには 場合分けが必要。 inf 等号成立条件 (1) は ① から |ab|=ab, すなわち, ab≧0のとき。 よって, (2) は (a-b)≧0 ゆえに(a-b≧0かつb≧ または (a-b≦0かつb≧ すなわち a b≧0 また a≦b≧0のとき。 TOL 等式・不等式の証明

マジでわからんです。どうか教えてください！

5/2 X5/7 基 本 例題 32 式の大小比較 0000 0<a<b,a+b=2のとき,次の4つの式の大小を比較せよ。 +nd a² +6² a, b, ab, 2 基本 27 MOITU.IO TRAHO CHART O SOLUTION ALOR TOAS 式の大小比較 数値代入などで大小の見当をつける 4つの式の差を作って, a-b, a-ab, ･・・の符号を調べればよいが, 全部 ( 4C2=6通り) 調べるのは煩雑である。 そこで, 0<a<b, a+b=2 を満たす数 3 a=1212, b=212/2 を代入すると、ab=3a+b25 となる a² +6² 4' [2] 4 a² + b² ことから, a <ab<- -<bと見当がつく。この予想 2 ↑ ^ ^ ^ ^ [1] [2] [3] した不等式を2数ずつ差を作って大小比較する。 b=2-a 0<a<2-aれで解け 。 0<a< 1 ① ab=a(2-a)=-a²+2a またはx+z=0 q°+b²_a²+(2-a)2=-2a+2 とも 2 2 ab-a=(-a²+2a)-a=-a²+a =-a(a-1)>0<did of d a² +6² 2 -ab=(a²-2a+2)-(-a²+2a) SAROST =2a²-4a+2=2(a²-2a+1)+1)-( =2(a-1)2>0 a²+b²=(2-a)-(a²-2a+2) 2 解答) a+b=2 から 0<a<bから よって また [1] ① から [2] ① から DAN [3] ① から したがって b- a<ab< 2 a²+ b² (+ads-d.) =-a²+a=-a(a-1)>0 -<b 見当を つけて mu a+b=2は条件式。 条件式文字を減らす 消去する6の条件 をαに残す。 -a<0 ① から a-1 <0 -(²p+d5-³d)+(²60²5_a+1 よって (a-1)²>0 - -a<0 padd ① から a-1 <0 51 - 0=- c 0-0-0 1章 等式・不等式の証明

Kが0か0でないかを確かめるのはなぜですか？

4/28 (5/20 基本例題 72 2直線の平行条件・垂直条件 2 直線 2x+5y-3=0 ①, 5x+ky-2=0 ...... ② が平行になるとき ■1.114 基本事項 2.8 と垂直になるときの定数kの値を、 それぞれ求めよ。 (C) CHART OLUTION 2直線の平行垂直 傾きに着目 MOITUIO 平行 傾きが一致 垂直 傾きの積が1 ① ② をy=mx+n の形に変形して, 傾きに着目すればよい。 別解 一般形で考えるなら, x+by+c=0, azx+by+c2=0 について 平行⇔ ab2-azb1=0 垂直 ⇔ aa2+b1b2=0 を利用する。(p.114 基本事項3参照) なぜ? 解答 k=0₂/²k+06²3 試める!!! 2 k=0のとき,直線②はx= 垂直でもないから 5 k=0 直線 ②x軸に垂直で ない。 2 ゆえに,直線①の傾きは 5' 2直線①, ② が平行であるための条件は 2 5 !-- これを解いて ◆平行⇔ 傾きが一致 k 2直線 ①, ② が垂直であるための条件は JM これを解いて 垂直傾きの積があ 2700 別解 2直線 ① ② が平行であるための条件は 25 よって 2.k-5.5=0 よって k= ab2a2b1=0 2 2直線①②が垂直であるための条件は 25+5k=0_ よって k=-2 a142+b1b2=0 INFORMATION 1303 +0=1 #*#0=D) y=mx+n の形の方程式は,x軸に垂直な直線を表すことができないのに対して, 一 般形 ax+by+c=0 はすべての直線を表すことができる。 0=(x+1)= 2直線の平行・垂直も上の 別解 のように一般形で考えれば,直線がx軸に垂直となる 場合 (6=0 のとき)の考察を省くことができる。 0=(8-01-15 ET-MA キ x-x [三][掛け[て] -3₁)=1 1000-3-(-5)--1 3) ⑥ 117 となり、①と②は平行でも 5 直線②の傾きは 24 k ウン 25 k=- 2 k=-2 3章 11 直線