Question

For75

全然わかりません、、どうか教えてほしいです

X 3/8
重要 例題 169 球と球に内接する正四面体の体積比
〔類
半径1の球0に正四面体 ABCD が内接している。このとき, 次の問いに答えよ。
ただし、正四面体の頂点から底面の三角形に引いた垂線と底面の交点は,底面の
類 お茶の水大
LAS VER
重要 16
三角形の外接円の中心であることを証明なしで用いてよい。
(1) 正四面体 ABCDの1辺の長さを求めよ。
(2) 球Oと正四面体 ABCD の体積比を求めよ。 糖
指針 (1) p.255~p. 257の例題 165, 166と同様に,立体から 平面図形を取り出して考える。
ここでは、正四面体の1辺を、頂点から底面に垂線AHを下ろしてできる直角に
1
√2
-×(底面積)×(高さ)
ABH の斜辺ととらえ,
3
1
-XABCDXAH
12
3
(2) 正四面体 ABCD の体積は
(p.256~p.257 重要例題 166 参照)
解答
(1) 正四面体の1辺の長さをaとする。
球に正四面体が内接すると
いう場合,正四面体の4つ
の頂点は球面上にある。
正四面体の頂点AからABCD に
垂線 AH を下ろすと, H は ABCD
の外接円の中心である。
0
ABCD において, 正弦定理により
(B
H
a
a
∠DBC=60°CD=4であ
BH=
2sin 60°
√3
よって
AH=√AB2-BH
るから, △BCD の外接円
の半径をRとすると
CD
√√6
a
= √²²-( 4 )² = √5₁ a
=2R
sin ZDBC
直角三角形OBH において, BH² + OH² = OB2 から
a
()*+ (0-1)²-1 1021²= a(a-²√/6)=0
=1
a-
ゆえに
3
αの2次方程式を解く
a>0であるから a=
2√6
3
(2) 球Oの体積は
4
4
π13=
π, 正四面体 ABCD の体積は
3
正四面体の体積 12
1/1×ABCD ×AH=1/3×1/12 (225/68 )
△BCD
3
· √/
sin 60°×
√62√6
3
2=2√56 とおくと
.
a
3
3
3
8√3
√2 48√6 8√3
27
12
27
27
したがって 1/31 : 827-2√3
4
3"
球の体積は、正四面体
ABCD の体積の約8倍。
練習
1辺の長さがαの正四面体に球が内接している。
169 (1) 球の半径をaを用いて表せ
D
正
項
空間図形
四面体と珪
位置関係に
例えば,「
球は四
に接する
ここでは、
辺に接す
半径 1
長さ
す
t