なぜ2ぶんの1 がつくのですか?

部分積分法(同形出現) 例題 43 不定積分\e*sinxdxを求めよ。 開封本のチゴ代 え分 部分積分法を2回適用すると,同じ形が出てくる。(x)八関 e fesinxdx=S(ce")sinxdx=e"sin.x-Se"cos.xds 次の定額分を早ぜ'sinx-Sce^)cos.x dx=e"sinx-{fe" cos.x-Se"(-sinx)de| Se'sinxdx=\(e*)sinxdx=e*sinx-\e", CoS x dx --fe'cosx- Je(-sinz)ds| 165 Icosx Fe*sinx-e*cosx- x-Je'sinxdx Se'sin.xdxf よって 1 e*(sinx-cosx)+C(Cは積分定数) 。 2 2

解き方と解説誰かお願いします 置換積分法使って解くと思うんですがg(x)とg'(x)が分かりません

(3e dx

⑴の解答の｢2つの実数解α,βをもつ｣というところまでは分かるのですが、その次の｢③はx=0を解にもたないので…｣のところがなぜいきなりx=0を考えるのかわからないです🙇‍♂️

(2) この2つの曲線で囲まれる2つの部分の面積が等しくなるようなk 192 第6章 積分法 基礎問 106 面積(I) y=kz°(k>0) 2つの曲線 y=x(z-1)? …①D, について, 次の問いに答えよ。 (1) この2つの曲線は異なる3点で交わることを示せ、 の値を求めよ。 (1)「異なる3点で交わる」 精講 =「0. 2からりを消去した式が異なる3つの実数解をもつ」 実数解の個数だけであれば, 数学II·B94|の手順でよいの でしょうが,(2) で面積がテーマになっているので, 出せるものなら, 直接 解を出しておいた方がよいでしょう. (2) 問題文の通りに式をつくればよいのでしょうが, ポイントの考え方を最初 から使えるようになれば, 少しですが, 負担が軽くなります。 解答では, ポイントの考え方がでてくる過程がわかるようにかいてありま す。 解 答 (1) 0, ②を連立して, yを消去すると, 2(x-1)?=kz° z{(r-1)?-kz}=0 = s(z-(k++2)r+1}=0 ここで, z°-(k+2)r+1=0 の判別式をDとすると D=(k+2)?-4=k?+4k>0 (k>0 より) よって, ③は異なる2つの実数解 α, B (α<B) をもつ。 3は エ=0 を解にもたないので(③に エ=0 を代入すると 1=0 と なって矛盾), ①, ②は異なる 3点で交わる. (2) 解と係数の関係より α+B=k+2>0, aB=1>0 だから

練習6の(2) 答えまでたどり着けません💦 続きの計算教えてください!!

置換積分法1) F(g(t)) (t) dt 1 Srcx)dx=fr(g(t))g(t)dt dx f(x)をtの dt 式で表す ただし, x=g(t) 例題 不定積分(xェ -1dx を求めよ。 =1-- 天….+↓. 2 2 と x-1=t とおくと dx -=2t dt dx ←g'(t)= dt 解答 よって Sra-1dx={(だ+1)+-2tdt=2\(*+r)dt 1-2tdt=2\ (*++)dt 分 dy-2dt t5 =2| 2 +C=fが(3t+5)+C ミ 3 15 tをxの式に直す 2 (3x+2)(x-1)/x-1+Cx8='( 15 ニ 15 練習 次の不定積分を求めよ。 ーD (2) |(5x+8)/x+1dx S 6 (1) Save+I dx x =dx x-1

⭐︎の部分で自分は右のように変形したんですけど、解答の方がスムーズに見えたのですが、解答はどうやって考えてるのでしょうか、？ (同じ問題で何回もしつもんしてごめんなさい、、)

であり,また』く2+2はつねに成り立つから, L(定積分,不等式の証明)じetaくて を2回投げて 1 1 P4 = 2 解答 0<aにおいて S2-2 ←→ «\1 (2) 点の合 (ア)1回目 である (イ)1回目 ある 通り、 (ア) 0<rS1の場合 (イ)1Saの場合 の2パター 2+2 t が成り立つ 2-2 2+2 t 2-2 む 2+ Pr- t-a| dt は前ページの図の斜線部分の面積であ J2-3 ることに注意して 2+2 1 とできるの F)=-t-l dt t- a| dt 2 列である。 1 したがって - 2 - (2- 2x)} (0<zハ) |pn+1 151 (2- 2P + }2} (15) (2c - 2)? + となるか 4- 2c |Pnt ニ となる。 4 20 + -4 (1Sa) 11 II

｢時刻t とともに変化する位置や量は、時刻tて微分して扱う｣について、 どうして微分をすると 速度vや、体積V がわかるのでしょうか。 教えて下さると嬉しいです(˶ ̇ ̵ ̇˶ ) 一応問題も貼っておきます！

400 第6章 微分法 例題 227 運動と微分20 Ay(1) 直線上の動点Pの時刻さにおける座標Sは,s=t°-6t°+9t-2で ある。時刻tにおける点Pの速度および,点Pが運動の向きを変え る時刻を求めよ。 X(2) 半径1cmの球形の風船があり,空気を入れはじめてから,半径は 毎秒0.5cm の割合で増加しているという.4秒後の体積の増加す る速度を求めよ. 京許共社 ①.cお (1) 速度に関する問題である. 直線上の動点Pの時 刻tにおける座標sが s=f(t)のとき, 時刻t 考え方 s=f(t) ()時間で微分 位置 50 Qtiんで? ds →における速度は v= dt =f(t), 速さはl 速度 また,運動の向きが変わる → 速度の符号が変わる (2) 変化率に関する問題である。 変化する量Vが時刻さの関数で, V=f(t) の w wへ とき、もO回 (時刻tにおける)変化率 dv =f(t) dt 球の体積Vをすを用いて表すとよい。 お 0-(6+ (1) 時刻さにおける点Pの速度をひとすると,このと きの座標は, s=ポー6t°+9t-2 であるから、 い) る申お 解答 O ds 。 リ==32-12t+9=3(t-1)(t-3) tど よって,速度は 3t-12t+9 点Pが運動の向きを変え るのは,速度vの笹号が変 わるときだから,右の表よ り, (2) 秒後の半径をrcm, 体積をVcm° とすると, r=1+0.5t_より, dt tについて微分する。 つ t 1 t=1, 3 球の体積 V=r 4 4 (-a5t)? 元(1+0.5t)*=(2+t) 最初の半径が1 cm で, 毎秒 0.5 cm 増加 3 6 dV したがって, 1+0.5t ま T dt 6 いる(21t) そ(り) dv のとき。 ゼaん!! -(2+4)=18x ant) dt 2 [{f(x)}"] =n{f(x)}"-1.f(x) よって,増加する速度は,毎秒18π cm° ン Focus 時刻tとともに変化する位置や量は, (時刻 tで微分して扱う。 (1) 直線上の動点Pの時刻tにおける座標sは,s=パー9t°+15t-6 である。 時刻さにおける点Pの速度および,点Pが運動の向きを変える時刻を求め 練習 227 よ。 石 町207(0)1- 数 る装

tの値までは出せたのですが、その先の赤い線で引いたところの意味がわからないです。 よろしくお願いします

422 球を平面で2つに切って, 2つの部分の体積の比が20:7になるようにする 423 次の曲線や直線で囲まれた部分が, x 軸の周りに1回転してできる回転体の とはどのように切ればよいか。 体積『を求めよ。 (1) y=2x°, y=ーx+3x (0Sx)--1 →数p.242 応用例題11 ーx+ ソ=ー (2) y=COSX 曲線ソーlogx, 原点を通るこの曲線の接線,およびx軸で囲まれた部分が, y 24 軸の周りに1回転してできる回転体の体積Vを求めよ。 ヒント ビ 球は、円x?+y?=1 で囲まれた部分が, x 軸の周りに1回転したものとし, x軸に垂直な 平面で2つに切るとする。 126 -4プロセス数学II 422 球を,円 (2) 直線 y=-ニx+1 x+ y°=1がx軸の周 りに1回転してできる 回転体とし,x=t (0<t<1)を通り x軸 に垂直な平面で2つに とx軸および y軸で 囲まれた部分が, x 軸の周りに1回転し てできる回転体は, ソ= 切って,体積の比が 20:7になるように分 けたとする。 半径1, 高さの円 錐であるから,その 体積は 球の体積は号であるから, 小さい方の体積は 11 12 3 元? 7 4 28 -X π= 27 上の図の斜線部分が, x軸の周りに1回転して できる回転体の体積は よって cos' xdx- V: =ロ-=-- 4) よって ー)- )dx =(1+cos2x)dxー。 -n2 --0-号 28 6 式を整理して 27: -81t+26=0 (3t-1(9t2+3t--26)=0 1 -1土V105 すなわち 三 よって t= 12 6 0<<1であるから t%3 424 y=log x より ダー 4.2 =2:1に内分す よって,曲線 y=log x 上の点(t, る接線の方程式は したがって, 球の直径を号: る点を通り,その通 い。 垂直な平面で切ればよ ソーlogt=-xー) 423 (1) 2つの曲線の 共有点のx座標は, 11 すなわち y=ーメ+logt -1 |y=2x? 接線Dが原占(0 00む通 第7章 積分法と

∮log(2x+1)dxを右の図のようにしたときに、なぜ1の積分が1/2(2x+1)になるのですか？(公式や置換で解くのは無しでお願いします)

(3) 「log(2x+1)dx ビ セ (22+1)-又+C.

なぜ、「よって1/s^2になる」のかが分かりません… ラスト3行目からラスト2行目にかけてが分からないです。どなたか解説お願いします🙇‍♂️

例題4 f(t) = sintのラプラス変換を求めよ。 解s>0のとき lim e-st sint= lim e-** cos t =0 t→○ t→○ このことと部分積分法を用いると F()= | e-st sintdt 0 1 -st cost dt -st e S sint e ニ 0 0 1 1 1(1- e-st sint dt |st e S %D COst S 0 S 0 1 F(3) よって (1+)F()%=D ○st 1 :: CIsint] (s>0) ミ ニ s°+1

並々線のところはどうしたらそうなりますか？

第3節 積分法 ●115● 面積を2等分する直線の傾き 内題 58 放物線 y=3xーx° とx軸で囲まれた部分の面積を直線 y=kx が2 等分するように,定数kの値を定めよ。 放物線 y=3x-x° と直線 y=kx で囲まれた部分の面積を S(k) とする。 放物線とx軸で囲まれた部分の面積は S(0) であるから, 2S(k)=DS(0)を満たすkの 値を求めればよい。 放物線 y=3x-xと直線 y=kx で囲まれた部分の面積を S(k) とする。 放物線と直線の交点のx座標は,方程式 3x-x°=kxを解いて 面積を2等分できるためには 0<3-k<3 x=0, 3-k すなわち 0<k<3 の C3-k S(k)=),((3x-x")-kx}dx S(k) ここで y=kx. C3-k -- x{x-(3-k)}dx ニー (3-k) 3 3-k 三 6 放物線とx軸(直線 y=0·x) で囲まれた部分の面積 y=3x-\ は S(0)であるから, 面積を2等分するとき k 3 2S(k)=S(0) すなわち 2… 6 k- 3- 36 三 6 3 すなわち 3-k=。 27 よって (3-k)= 3(1に売) 2 2 したがって A=3{(1-) 国 4 これは①を満たす。 31 2 78 放物線 y=x°_2ax (a>0) と x軸で囲まれた部分の面積が- 9 になるよう 16 に,定数aの値を定めよ。 声線 無U地町