35 anti = pan+(nの1次式) 型の漸化式
a=1, an+1=3an+4n によって定められる数列{an}の一般項を求めよ。
基本
解答
例題
p.464 基本例題 34 の漸化式anti=pan+αで, gが定数ではなく､nの1次式となっ
指針
ている。このような場合は,n を消去するために 階差数列の利用を考える。
漸化式のnをn+1 とおき, an+2 についての関係式を作る。 これともとの漸化式
との差をとり、階差数列{an+1-an} についての漸化式を処理する。
また、検討のように、等比数列の形に変形する方法もある。
CHART
→
漸化式 an+1= pan+(nの1次式) 階差数列の利用
an+1=3an+4n
1
① とすると
an+2=3an+1+4(n+1)
......
②① から
an+1-an=bn とおくと
これを変形すると bn+1+2=3(6+2)
an+2-an+1=3(an+1-an) +4
bn+1=3bn+4+nd=1 d
また
b1+2=a2-a+2=7-1+2=8
よって,数列{bn+2} は初項 8,公比3の等比数列で
b+2=8.31 すなわち bn=8•3-1-2...... (*)
n≧2のとき
n-1
TREHTO
an= a₁ + (8.3k-1-2)=1+
k=1
| £ 17-18=
=4.3n-1-2n-1
......
3
83-1-1)
3-1
S18-
--2(n-1)
n=1のとき
4・3°-2・1+1=18
-5-8-8-8-1
α = 1 であるから, ③はn=1のときも成り立つ。
3
したがって
an=431-2n-1
[列とする解法
DO
基本 14
{√n=20
①のnにn+1 を代入す
ると②になる。
n≧2のとき
467
差を作り, n を消去する。
<{bn}は{an}の階差数列。
α=3a+4 から
a=-2
az=3a+4.1=7
n-1
an= a₁ + Σ bk
k=1
初項は特別扱い
参考 (*)を導いた後 α+1- 4=8.3"-1-2 に ① を代入して am を求めてもよい。
=
1
Tz+harly
漸化式と数
