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総合
8
x.
についての方程式x2-6xy+y2=9 ...... (*) に関して
x,yがともに正の整数であるような(*)の解のうち, yが最小であるものを求めよ。
(2) 数列 (1, 2, 3, 漸化式 an+2-6am+1+an=0 (n= 1, 2, 3, ...)を満たすとする。
このとき,(x,y)=(an+1, an) が (*) を満たすならば,(x,y)=(n+2,n+1) も (*)を満た
すことを示せ。
(1)y=1のとき,(*)は
[千葉大 ]
⇒ 本冊 数学 B 例題 57,58
←x²-6x・1+1=9
(3)(*)の整数解 (x, y) は無数に存在することを示せ。
x2-6x-8=0
よって
x=3±√17
このxの値は不適。
y=2のとき,(*)は
よって
←解の公式を利用。
x2-12x-5=0
←x-6x・2+22=9
総
x=6±√41
このxの値は不適。
y=3のとき,(*)は
x2-18x=0
←x²-6x3+32=9
よって x(x-18)=0 x0 とすると
1001
x=18
したがって, 求める (*)の解は (x, y)=(18, 3)
(2) (x,y)=(an+1, an) が (*)を満たすから
(*)に解を代入。
an+12-6an+1an+an²=9
数列{an} は an+2-6an+1+an=0を満たすから
よって
an+22-6an+2an+1+an+120s+
an+2=6an+1-an (P(B)-PA
X))-(X)D
-(I+8)00as
(1-6-=(6an+1-an)2-6(6An+1−an) an+1+an+1² 100 ←an+2=6an+1—An &ft
=an+12-6an+1an+an2
①から an+22-6an+2an+1+an+1=9
したがって, (x, y) = (an+2, an+1) も (*) を満たす。 (1+0)
入。
B
(3)(1),(2)の結果から, n=1,2,
に対して、数列{a} を
α1=3, a2=18, an+2-6an+1+αn=0
......
......
← (1) より,
により定めると, すべての自然数nに対して,
(x, y) = (an+1,an) は (*)の解である。
(x, y) = (az, a) は
を満たすから,(2)
よって、②で定められる数列{an} の各項がすべて互いに異な
る整数であれば, (*) の整数解は無数に存在する。
-100より (x, y) = (a3, az)
も(*)を満たす。
このことを繰り返す。
+8=000
以下,②で定められる数列{an} について すべての自然数n
に対して an, an+1 はともに整数 かつ 0<an <an+1
③
←②から
an+2=6an+1-an
60 これから③の不等式が
思いつく。
が成り立つことを数学的帰納法により示す。
[1] n=1のとき
a=3, a2=18 から, ③は成り立つ。
[2] n=kのとき,③が成り立つと仮定すると, ak, ak+1 はと
もに整数で
0<an <ak+1
n=k+1のときを考えると,② から
ak+2=6ak+1-ak
ak, ak+1 は整数であるから, ak+2 は整数である。
$200M-(
ak+2-ak+1=(6ak+1-ak-ak+1=54k+1-ak
また
=(()
ここで, 0<ak<ak+1 から
0<ak<ak+1 <5ak+1
(1-n)s(a)
よって
5ak+1-ak0
ゆえに ak+1 <ak+2
JA
よって、n=k+1のときも ③は成り立つ。
