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例題 294
漸化式 an+1°=par"
a=2, an+i°=4aパで定義される数列 {an} の一般項 an を求めよ。
第8章
考え方 漸化式が an+i? や aポ などの累乗の場合や, anに がついている場合, an+1Qnのよ
うな積の場合は, 両辺の対数をとるとうまくいくことが多い。
ここでは, aの係数 4(=D2°) に着目して,底が2である対数を両辺にとると,
log2an+i°=log2(4an")=log24+log2a,° より,
21og2an+1=2+31og2am
ここで, log2an= bm とおくと, 26n+1=36m+2 となり, 例題291 の形の漸化式となる。
解答
a1=2>0, an+1°=4a。より, すべての自然数nに対して,
an>0
下の注》参照
an+1°=4a。について, 底2で両辺の対数をとると、
log2an+1°=log24a"
21og2an+1=log24+31og2an より,
21og2an+1=3log2an+2
log2an= bn とおくと,
26n+1=36n+2
3
したがって,bn+1= 6n+1 より,これを変形すると,
bn+1+2=;(bn+2)
3
2
…D
特性方程式
ここで,
bi+2=log2ait2=log22+2=3
3
α=;a+1 を解くと、
のとb+2=3 より,数列{bn+2} は, 初項3, 公比
3
の
Q=-2
32-1
等比数列だから,一般項は,
bn+2=3()
b、=-2-
3"-2"
27-1
37
2カ-T-2=
37-2"
27-1
すなわち,
37-27
よって, bn=log2Qn=-
より,
an=227-1
Focus
漸化式 an+1°=ba"は両辺の対数をとる
注》「a=2, an+1°=4a,° のとき,すべての自然数について an>0」 について,
a2=4a°=4·2°=32 より, az=±4/2
仮に az=-4/2 とすると, af=4a<0 となり, 矛盾する。
よって, az>0 で,同様にすると,すべての自然数nに対して, an>0 がいえる。
