この問題のPは3枚目の方べきの定理の説明のように弦の延長の交点ではないので方べきの定理は使えないと思います なぜ方べきの定理が使えるんでしょうか

(2) 半径2の円の中心を0とする。 0 を通る弦 AB と 0 を通らない弦 CD が線分 OB 上の点Pで交わっているとする。 5 PD=- OP=1のとき, PC である。 4 [13 愛知工大〕9

青チャート⑴解説下から4,5行目 ①から「AHベクトル=～,BHベクトル＝～」といえるのが何故なのか分かりません。もし①の条件がなくOがBC,CA上にあったらどうなるのですか？ また先程の「AHベクトル=～,BHベクトル＝～」がいえると「AHベクトル≠0ベクトル」「BH... 続きを読む

00000 基本例題 30 線分の垂直に関する証明 △ABCの重心をG, 外接円の中心を0とするとき,次のことを示せ。 (1) OA+OB+OCOH である点Hをとると, Hは△ABCの垂心である。 (2)(1) の点Hに対して,3点O,G,Hは一直線上にあり GH=20G Sint flyta [類 山梨大 ] 基本23 基本68 SHU 指針▷(1) 三角形の垂心とは, 三角形の各頂点から対辺またはその延長に下ろした垂線の交点で OK-ある。 BHOJE AH 0, BC ¥0, BH ¥0, CA ¥0 のとき OA上への ...... (A) AH⊥BC, BH⊥CA⇔AH･BC=0, BH・CA = 0 内積を利用して, ⑩ ((内積)=0] を計算により示す。 とは△ABCの外心であるから 10A-10 |OA|=|OB|=|OČ| も利用。 MAA CHART 線分の垂直 (内積) = 0 を利用 MOTSTAND この長さと同分 であるとい 解答 直角三角形のときは ∠C=90° とする。 (1) ∠A=90°, ∠B=90° としてよい。 このとき,外心O は辺BC, CA 上 にはない。 このとき, 外心は辺AB上 ① にある (辺ABの中点)。 OH=OA+OR+OCから 10+800) AH-OH-OA=OB+OC B A ゆえに AH･BC A (50 =(OB+OC) (OC-OB) = |COC-OB (分割) = 40A = |OC|²—|OB|²=0 0-51ABCの外心 0 → 同様にして メ5-0 BH・CA=(OA+OČ)・(OA-OC) = OẢI—|OCI=0 - -1-5-JA また①から AH=OB+OČ=0, BH=OA+OC≠0 ¥0, ときによって、AH, BC BH CAであるから AH⊥BC, BH⊥CA すなわち AH⊥BC, BH⊥CA 点Hは△ABC の垂心である。 したがって, Jos ならば OA+OB+OC=/OH から OH=30G -+* (2) OG= 3 ゆえに GH = OH-OG=2OG よって, 3点 0, G, H は一直線上にあり 10 GH=20G 428 OH-OA = OB + OC are 5+₂09 初めて、 a·b=0" いえる!!! CLO A OA=OBOC (数学A) 検討 外心,重心,垂心を通る直線 (この例題の直線 OGH) を オイラー線という。 ただし、正三角形は除く。 POSTO (1) から OA + OB+OC=OH BASA+SA

(1)の解答の①の記述についてです。 この記述がないと「ベクトルAHとBHの大きさがない」から「AHとBC、BHとCAがともに垂直であると断言できない可能性がある」ことになってしまうのは理解しています。 ただこの「三角形が直角三角形のときは、外心OがBC、CA上にあってはま... 続きを読む

428 00000 基本例題 30 線分の垂直に関する証明 △ABCの重心をG, 外接円の中心を0とするとき,次のことを示せ。 (1) OA+OB+OCOH である点Hをとると,Hは△ABCの垂心である。 基本 23 [ 類 山梨大 ] 基本68 (2) (1) の点Hに対して, 3点 0, G, Hは一直線上にあり GH=20G 直角三角形である場 指針 (1) 三角形の悪心とは、三角形の各店舗から利団またはその延長に下ろしたの ある｡ そうでかい ..... AH ¥0, BC = 0, BH = 0, CA ≠ 0 のとき AH⊥BC, BHICA⇔AH・BC=0, BH・CA=0 であるから 内積を利用して, A 〔(内積) = 0] を計算により示す。 Oは△ABCの外心であるから, |OA|=|OB|=|OC|も利用。 <A≠90%<B ¥900 0 <C=900 • A+ 90° <B +90%[= A 直角三角形のときは ∠C=90° とする。 このとき,外心は辺AB」 にある ( 辺ABの中点)。 MBC = OC-OB (分割) △ABCの外心 0 → OAOBOC (数学A 検討 外心,重心,垂心を通る直 (この例題の直線OGH) を オイラー線という。 ただし, 正三角形は除く。 (1) から OA + OB+OCOH CHART 線分の垂直 (内積) = 0 を利用 解答 (1)∠A=90°,∠B=90° としてよい。 このとき,外心は辺BC, CA 上 にはない。 OH = OA+OB+OGから AH-OH-OA=OB+OC ゆえに AH・BC =(OB+OC) (OC-OB) = |OC|-|OB|²=0 引っ張る 同様にして (BH･CA=(DA+OC)・(OA-OC) =10A-LOCP-0 また①から AH=OB+OC+0,_BH=OA+OĆ‡Ô よって, AH = 0, BC ¥0, BH = 0, CA ±0であるから AH⊥BC, BH⊥CA すなわち AH⊥BC, BH⊥CA したがって, 点Hは△ABCの垂心である。 (2) OG = OA+OB+OC 3 -1/30H から OH=3OG ゆえに GH OH-OG=2OG よって, 3点 0, G, H は一直線上にあり B 内積 GH=2OG 確認できる

ah✖️bcから赤線のようになるのがよくわかりません。

3 ベクトルと図形 オイラー線 例題 357 (1) ** △ABCの外接円の中心を0とし、頂点A, B, Cの点Oを基点とする位 ベクトルを、それぞれ a, 6, ことする. 位置ベクトル h=a+b+c で (2) *** 表される点をH, △ABCの重心をGとするとき, 次の問いに答えよ. (2) 点Hは△ABC の垂心であることを示せ . (1) 3点O, G, H は一直線上にあることを示せ. 考え方 (1) 3点 0, G, Hが一直線上にある OH = OG (kは実数) の形で表せる (2) 点Hは△ABCの垂心 AH⊥BC, BHICA つまり, AH･BC=0, BH・CA=0 また, 点は外接円の中心だから,|a|=||=|c| (1) OH=a+b+c, OĞ= 3(a+b+c) £9, OH = OG の形て 表せた。 よって, 3点O, G, Hは一直線上にある. OG: GH = 1:2 (別解) GH = OH-OG OH-OA+OB+ =(OA+OB+OC)-OG =3OG-OG=20G よって, 3点 0, G, H は一直線上にある。 |OG=1/(a+b+ (2) 点Oは△ABCの外心だから, la|=||=|0| A AH+0, E しても一般性 AH･BC=(OB+OC)・(OC-OB) =(c+b)(c-b) =101-16-0 よって, AH BC=0 B BH･CA = (OA+OC :OẢ-0Ỏ) = (a + c) (a-c) C =la²-c²=0 よって, BH･CA = 0 以上より, AH⊥BC, BHICA だから, 点Hは △ABC の垂心である. HO G O

複素数の問題です。 全て解いてほしいです。 特に問題4の解説をよろしくお願いします。

問 ■複素平面と極形式 題 複素数zは:=Rez+ i Imz と書くことができ、実部 Re z をx座標、虚部 Im:をy座標に見立てることで、 ガ ウ こを2次元平面上の1点として捉えることができる。この平面を複素(数)平面ないしGauss 平面と呼ぶ。 一方、ある複素数zを、二つの実数r,e(ただしr>0に制限す る)を用いて Im ミ=ree という形で表わしたものを:の極形式表示と呼ぶ。e の逆数は -1 Im:=rin 1 で定義する。 er Imz 問[]()r= |, tan @ = が成り立つことをそれぞれ示せ。 Rez (i) 逆数の定義に基づいて (e")= e-t0 であることを示せ。 Re Rez=r このようにこの絶対値であるrは複素平面における原点(0+ 0i) から、までの距離を表わし、0は原点とこを結ぶ線分が実軸となす 角を表わす。はarg z とも書き、偏角 (argument)(物理や工学で はしばしば位相(phase))と呼ぶ。原点の周りを一周しても同じ点 に戻ってくることから、0には 2x ラジアン= 360度の整数倍の不 定性がある。また、0+0iの偏角は定義されない。 図1 複素平面。 偏角と加法定理 絶対値が1の二つの複素数 Im 21= COs # +isin @, 2= cos #,+i sin @。 を考える。ここで0,,02 は実数とする。 問 [2]() 積22 を計算し、三角関数の加法定理とオイラーの公 式を用いて極形式表示に直せ。また、同様にして商z/zz = zi の極形式表示も求めよ。(i) 21,22の複素平面における表示を図2 とする。このとき、積」みと商z/を複素平面に図示せよ。 0.5 Re -10 -0.5 0.5 21= e,22= e であったから、小間 (i) のとくに積の方の結 果から、次の基本的な指数法則が成り立つことが理解できる: 基本的な指数法則 -0.5 実数,に対してelh el = e(h+h)が成り立つ。 図2 と2の複素平面における表示。 また、小間(i) の結果から、22= e' hを掛けることで」から偏 角がだけ反時計回り方向に回り(角度が+)、2で割ることで 2」から偏角はだけ時計回り方向に回る(-)ことが納得できる。

赤線で引いた所がわからなくて困っています。そういうものだと考えて覚えるしかないのでしょうか。

mとnが互いに柔であるような自然 482 重要 例題114 互いに素 (2)pとqは異なる素数であるから,pqと互いに素である自然数は,pの倍数でもqo 15と互いに素である自然数は,3の倍数でも5の倍数でもない自然数である。しかし、 (2) カキqのとき,f(pq)を求めよ。 個数を(n)とする。また,p, qは素数とする。 (1) f(15)の値を求めよ。 (3)自然数をに対し,f(か)を求めよ。 mの (限名古屋 基本112,19 (3) がと互いに素である自然数は, pの倍数でない自然数である。 415程度であれば、左の船 でも対応できるが,数が きい場合には,第1の 本例題1で学習した、 鶏 の要素の個数を求める数 で考える。 解答 (1) 15=3-5 であるから,f(15) は1から15までの自然数のう ち, 1-3, 2-3, 3-3, 4·3, 1·5, 2·5, 3·5 f(15)=15-7=8 を除いたものの個数であるから (2)p,qは異なる素数であるから, pq と互いに素である自然 数は,かの倍数でもgの倍数でもない自然数である。 ゆえに,f(bg)は, 1から 加までのpa 個の自然数のうち p, 2p, … を除いたものの個数である。 (q-1)か, pq;q, 20, (p-1)q, pq Apa が重複していることに 1~pq- 注意。 かの倍数 (q個) 9の倍数 (個) [(1)で確認] p=3, q5 とすると f(15)=fB1 よって f(bq)=pq-(b+q-1) = Dg-p-g+1 =(3-1)(5-1)=21- =(b-1)(q-1) pq(1個) p,qと 互いに素 (3) 1からがまでのが個の自然数のう ち、pの倍数はがカ=が (個) ある から,f(が)はpの倍数でないものの個数を求めて f(が)=がーが k-1 GSC 1-)としてもはい。 k-1 検討)オイラー関数φ(n) nは自然数とする。1からnまでの自然数で, nと互いに素であるものの個数をのれ) C この(n)をオイラー関数 といい, 次の性質があることが知られている。 ①かは素数, kは自然数のとき ② かとqは異なる素数のとき ②かとqは互いに素のとき ゆはギリシア文字で 「ファイ」 と読む。 (p)=p-1, (が)=Dかーかー! (pg)=¢(b)(q)=(p-1)(q-1) (pq)=(p)(q) 練習 上の重要例題114のf(n) について、次の間いに前 114|(1) f(77) の値を市 吊瀬田本 「転

数Aです 辺の数を2分の1にする経緯が知りたいです…！

STEP 128 多面体 一般の凸多面体(へこみのない多面体)の頂点の数ひ, 辺の数e, 面の数fに ついて,ひーe+fの値を考える。例えば, 立方体の場合で考えると,この値 TIS O0 14 はア」である。 以下では v:e=2:5 かつ f=38 であるような凸多面体について考える。 オイラーの多面体定理により v-e+f=[ア であることがわかるので, リ=「イウ」e=[エオ]である。さらに,この凸多面体はx個の正三角形の面 とy個の正方形の面で構成されていて, 各頂点に集まる辺の数はすべて同じ 1であるとする。このとき,3x+4y=[カキクであることから x=[ケコで あり,さらに l=[サ]である。 [18 センター試験追試]

(１)と(２)の解き方と答え教えてほしいです

第7章 図形の性質 多面体 0正多面体 次の [1], [2] を満たす凸多面体。 [1] 各面はすベて合同な正多角形。 [2] 各頂点に集まる面の数はすべて等しい。 の 多面体の性質 [1] 多面体の1つの頂点に集まる面の数は3 以上である。 [2] 凸多面体の1つの頂点に集まる角の大き さの和は 360°より小さい。 a a ③オイラーの多面体定理 凸多面体について (頂点の数)-(辺の数)+(面の数) 32 44 (1) 正n角柱について, 面の数, 辺の数。 頂点の数をそれぞれ調べ。 (頂点の数)-(辺の数)+(面の数)%3D2 が成り立つことを確かめよ。 (2).右の図のような, 10 個の正三角形を 面にもつ多面体が正 多面体ではない理由 を述べよ。

⑵が答えをみても理解できません。 誰か分かりやすく説明して下さると嬉しいです🙇⋱

一般に凸多面体の頂点,辺,面の数をそれぞれv, e, fとするとかle+f=2 が成り立つ。 (1) 各面が正三角形である正多面体の1つの頂点に集まる面の数は ずれかである。ただし < < ロロ である。 のいず

どゆことですか教えてください

問4 名古屋大 改 nを自然数とする。mSnでmとnが互いに素である自然数 m の個数をn)とするとき, 次の問いに答えよ。 (1)f15)を求めよ。 (2) Apg) を求めよ。ただし、かqは異なる素数とする。 (3) かりを求めよ。ただし、pか素数,kは自然数とする。 オイラー関数こいう IS23-5 であるから.fus)は 、15以下の自然数で15と互いに系, つ)、3の倍数でも 5の倍数でも多い自在教の個教と表5。 15以下の6恋数で、3の倍数紙は、Sの信数である自恋表の色数は 3,5,6.9.10,12-15 の7個である。 おて、fus)= 15-7= 8 一+ 平A的にえこれ * P-3、5 と5ると (2) P.8は 異をる系数であるから、Pgと与いに素でるい自然数は Pの倍教たは2の倍数とをる。 P&-15 P#X下の自然数で /5以下の6歴数で 3の信割 (5t3-5 (回) Pの信数は Pg+P=8 F) 8個 59倍数 15t53() 8の倍数は Pそg=P #り P個 15の倍sts=| () P&の倍数は P%P}= F) 個 とき3。 したが、て15X下の白然参で (たがって、P2X下の自然数で Pの倍数たはgの倍数である 自恋数の色数は(ま+P-1)個 と3。 3の他数または 5の信数である 6変あっ色あ St317(色) よって、fiee)= P&-(&tP-1) Pa2,ke3とと (3) P.kは 6然教であるか、pk 百然数はが個ある。 pf--8 Fと互いに柔でな、以下の Pは素数であるかう、pteBnic柔でない百然数は Po倍教てある6然数である。 phX下の百然教で Pの信数は pfミP= p (回)と3。 2、4.6.8 の回. これSは すべて、2の倍徴である。) なnご、8と5いに来と6、 る下の6盗あの他衣は ミ2: 4()となる。 あ2、fce)= pf- p