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★★★
めよ。
とその
数の
小
を残した
直す
5
30+
1214
例題 78 2変数関数の最大・最小) 宝
xyが実数の値をとりながら変化するとき,P=x-2xy+3y²-2x+10y +1
の最小値,およびそのときのx,yの値を求めよ。
例題77との違い
fxとyの関係式がないから, 1文字消去できない。
るから
消去す
関数
縦軸
主意
=(x-y-1)+2y2 +8y
={x-(y+1)}- (y + 1) + 3y2 +
思考プロセス
見方を変える
lxとyがそれぞれ自由に動くから考えにくい。
① yをいったん定数とみるxの2次関数 P=x'+x+の最小値を
(yを固定する)
②y を変数に戻す
( y を動かす )
yの式で表す。
m =(yの式) の最小値を求める。
Action» 2変数関数の最大・最小は, 1変数のみに着目して考えよ
Pをxについて整理すると
P = x2 -2xy +3y2 - 2x + 10y +1
= x2-2(y+1)x +3y2 + 10y + 1
全国
3
求める
10y +1 (
(02)
ら
=(x-y-1)2+2(y+ 2)2-8
xyは実数であるから
(x-x-1)2 ≧ 0,
等号が成り立つのはx-y-1 = 0 かつ y + 2 = 0
すなわち x = -1, y = -2
2(y+2) ≧0
+(-S)D=2
+5
より, Pは最小値 -8を
xについての2次式とみ
て, 平方完成する。 yは
定数とみて考える。
yを定数とみたときの最
小値はm= 2y2+8y
この最小値を考えるため,
さらに平方完成する。
【実数) 20
HPの2つの()内が
0となるとき,
(0)2+2(0)2-8=-8
2次関数の最大・最小
+2
6
3
2
のときである。
とる。
したがって
x=-1,y=-2 のとき 最小値-8
+
Point... 式の見方を変える
をαに置き換えて例題 78 を書き直すと,次のような問題になる。
xの2次関数 y=x-2(a+1)x+32 + 10g +1 について
(1)最小値をαの式で表せ。
20
(2)αの値が変化するとき, (1) で求めた最小値 m の最小値を求めよ。
解 (1) y={x-(a+1)} +2a2+8a より
.0
そのグラフは、頂点 (a + 1, 24 +84) 下に凸の放物線であるから
最小値 m = = 2a² +8a
(2)=2a2+8a=2(α+2)2-8 より
mは α = -2 のとき,最小値-8をとる。
■ 78 x, y が実数の値をとりながら変化するとき, P=2x2+2xy +y-6x
の最小値およびそのときのx,yの値を求めよ。
