数列{a)について、aに1,ame=√2+amが成り立つ。
(1) O<an<2を証明せよ。
(2) 2-ann<12-an) を示し、liman=2であることを証明せよ。
(1) 数学的帰納法で示す。
n=1のとき
aに1より、Ocas2を満たす。
n=m(m=1.2)のとき
2
Ocam<2の成立を仮定する。
2<am+2<4
√2<√amt 2 <2
√2< Amel <2
amyの形
をつくる
①①に
y=xもってくるため
に必要
Y-√2+2
10
より、Ocamtic2が成立する。
1-12
α az
以上より、全ての自然数nにおいてOcans2#
2に収束することがグラフより予想可
(2) [解] 分子の有理化
[解2]平均値の定理(ボ3381)
2-antl=2-12+an
g(x)=√2+x とおく。g(x)=
これが
ポイント
①である。
4-(2+an)
2+2+an
2thon (2-an)
2+√2+0円
< 1/2(2-an)
よって、十分大きいれに対して
2-an<1/2(2-ant)
<(2)(2-0)
g(an)=anti }③より、平均値の定理を用いて
9(2) = 2
g(2)-g(am)
2-an
微分可能)
g'(c) を満たすCが
・より〇ではない
anと2の間(ancc<2)に存在する。
①②より 2- Anti = 21 (2-an)
1(ox)an<ccz
④より(1)>>であるから
となる。
③は
2- Anti < ±(2-an)
<(+)(2-0₁)
an=airmに相当
であり、(1)から
十分大きい、とかいたのは、n=1では不成立だから。(等号になる)
Oz-an<(1)(2a)」であるので、はさみうちの原理より、liman=2
〃
→〇(no)
コー1) 実は解ける
上の(例)において、an=2coson10sanc砦)とおくことにより、anを求めよ。
