演習問題なんですが、赤線のところがわかりませんm(_ _)m

146 ベクトルの大きさ(II) a = (-3, 1) = (21) とするとき, a +t6 の最小値とその ときの実数の値を求めよ. 精講 145の大きさの公式を用いて計算すると, a +t はtの2次式 になります。あとは2次関数の最大・最小の問題で, これはIAで学んでいます。 解答 a+tb=(−3, 1)+t(2, 1)=(2t-3, t+1) ... a+t=(2t-3)2+(t+1)2 =5t2-10t+10 大きさの2乗 =5(t-1)2+5 よって, a +tは, t=1 のとき, 最小値5をとる. 参考 t=1のとき、3つのベクトル, T, a + 君の関係は右図のようになって (a+b)となっています。 2次関数の最大・最 小にもちこむ √をつけること を忘れずに Y 2 a+b このことについては,151 を参照してください。 -3 -1 0 2x ポイント a=(x, y) のとき, lal=√2+y2 演習問題 146 =(2cos0+3sin0, cos0+4sin0)の大きさの最大値と, そのときの0の値を求めよ. ただし, 0≦0≦πとする.

緑マーカーで引いているL>0はどこから導き出したか教えてください。

2次の係数は数値 大値・最小値から2次関数の係数決定(1) 基本 基本 例題 73 69,71/ 重要 74 (1) 関数 y=-2x2+8x+k (1≦x≦4) の最大値が4であるように定数k 定めよ。 また, このとき最小値を求めよ。 (2) 関数 y=x²-2x+7-21(0≦x≦2) の最小値が11になるような正の の値を求めよ。 指針 関数を基本形y=a(x-p)2+α に直し, グラフをもとに最大値や最小値を求め (1) (最大値)=4(2) (最小値)=11 とおいた方程式を解く。 (2)では, 軸x=1 (1>0) が区間 0≦x≦2の内か外かで場合分けして考える。 CHART 2次関数の最大・最小 グラフの頂点と端をチェック 解答 (1)y=-2x2+8x+kを変形すると y=-2(x-2)2+k+8 y 最大 k+8--A ---- k+6. よって, 1≦x≦4においては, 右の図 から, x=2で最大値k+8をとる。 012 ! ゆえにん+8=4 よって k=-4 このとき, x=4で最小値-4をとる。 (2) y=x2-2lx+12-21 を変形して 区間の中央はx=2で から,軸 x=2は区間 1≦x≦4で中央よりさ ある。 4 x 最大値を=4とおいて 最小 んの方程式を解く。 y=(x-1)2-21 [1]0 <l≦2 のとき, x=1で最小値 -27 をとる。 [1] VA 11 ! 2l=11 とすると 1=- 2 0 これは 01≦2を満たさない。 2 x 1 最小 [2]21のとき, x=2で最小値 22-21・2+12-21 つまり 2-61+4 [2] をとる 2-6l+4=11 とすると 12-61-7=0 これを解くと 2 <l を満たすものは 11 最小 02 l=-1,7 l=7 M 以上から、 求めるの値は l=7 -21 練習 (1) 「Zは正」に注意。 ◆0 <Z≦2 のとき, 軸x=1は区間の内 →頂点 x=1で最 この確認を忘れず 21のとき, 軸x=1は区間の 区間の右端 x= (Z+1)(Z-7)=0 M その確認を忘れず

27の2番がわかりません

27 2次関数の最大・最小の応用 座標平面上にある点Pは, 点 A (-8, 8) から出発して, 直線 y=-x 上を が1秒あたり2増加するように一定の速さで動く。 また、 同じ座標平面上にある Qは,点PがAを出発すると同時に原点Oから出発して, 直線 y=10 上を が1秒あたり1増加するように一定の速さで動く。 出発してからt秒後の2点p Qを考える。 点Pが0に到達するのはt=ア のときである。 以下, 0<t< で考える。 30 点Pと座標が等しい軸上の点をP', 点Qと座標が等しい軸上の点を とおく。 OPP' とOQQ'の面積の和Sをtで表せば St2- ウ [t+] I となる。これより0<t < ア においては, オ カ でSは最小値 キ ク をとる。 次に,a を 0<a< ア -1 を満たす定数とする。 以下, a≦t≦a+1 における Sの最小・最大について考える。 オ ケ サ Sがt= で最小となるようなαの値の範囲は ·≤a≤· カ コ シ である。 ? ス Sが t=α で最大となるようなαの値の範囲は0<a≦ である。 セ (センター試験

青の線で引いたところで、-2≦t≦2になる理由が分かりません😭

152 重要 例題 91 4次関数の最大・最小 (1)関数y=x6x+10の最小値を求めよ。 00000 (2)-1≦x≦2のとき、関数y=(x-2x-1)-6(x²-2x-1)+5の最大値、最小 値を求めよ。 [(2)類名城大] 基本的 指針 4次関数の問題であるが、 おき換えを利用することにより、 2次関数の最大・最小の 問題に帰着できる。なお,●=t などとおき換えたときは、その変域に要注意! (2) 繰り返し出てくる式x2x-1 を =t とおく。 -1≦x≦2におけるxx-1の 値域がtの変域になる。 CHART 変数のおき換え 変域が変わることに注意 解答 (1)x=t とおくと t≥0 [10] yをtの式で表すと y=t²−6t+10=(t−3)²+1 ≧0 の範囲において, yはt=3の とき最小となる。 /y=ドー6t+10 1--- 最小 0 3 このとき x=±√3 よって x=±√3 のとき最小値 1 (2) x²-2x-1=t とおくと t=(x-1)2-2 -1≦x≦2から -2≤1≤2 を式で表すと 2 最大 ① y=t²−6t+5=(t−3)²-4 ①の範囲において,y は t=-2で最大値 21, t=2で最小値-3 をとる。 y 最大 -21 (実数 このかくれた条件に注意。 y=(x2)-6x2+10 tの2次式基本形に。 t=3つまりx=3を解 くと x=±√3 012 t=x²-2x-1 (-1≦x≦2) のグラフか x らtの変域を判断。 最小 t=-2のとき (x-1)^2=-2 ゆえに (x-1)²=0 よって x=1 t=2のとき (x-1)2-2=2 -2013 ゆえに (x-1)=4 最小 よって x=-1,3 -1≦x≦2 を満たす解はx=-1 以上から x=1のとき最大値 21, x=1のとき最小値-3 (x-1)=4から x-1=±2 この確認を忘れずに。 基本 1 2

青い線について。a<0となっていて、aは負の数と分かるから-aは+aとなり、a+b=9じゃないんですか？

147 重要 例題 86 2次関数の係数決定 [最大値・最小値] (2) ① 定義域を0≦x≦3とする関数 f(x)=ax2-2ax+bの最大値が9,最小値が1の とき,定数a,bの値を求めよ。 数ko な正の定 82 求め、 る。 基本85 指針 a=0 (直線), a>0 (下に凸の放物線), この問題では,x2の係数に文字が含まれているから,αのとる値によって,グラフの 形が変わってくる。 よって, 次の3つの場合分けを考える。 a<0 (上に凸の放物線) ≠0のときは, p.137 例題 80 と同様にして、最大値・最小値をα の式で表し, (最大値) = 9, (最小値) =1から得られる連立方程式を解く。 なお,場合に分けて得られた値が、場合分けの条件を満たすかどうかの確認を忘れな いようにしよう。 f(x)=a(x-1)'-a+b 2 関数の式を変形すると 10 3章 2次関数の最大・最小と決定 解答 [1] a=0のとき f(x)=b (一定)となり,条件を満たさない。 [2] α>0のとき y=f(x) のグラフは下に凸の放物 線となり,0≦x≦3の範囲で f(x) はx=3で最大値f (3) = 3a+b, x=1で最小値f (1) = -a+b をとる。したがって 3a+b=9, -a+b=1 [a>0] 軸 最大 (近) まず, 基本形に直す。 TRAH 常に一定の値をとるから, 最大値 9, 最小値1をと ることはない。 <軸は直線x=1で区間 0≦x≦3内にあるから, a>0のとき 「最小 x=0x=1 x=3 これを解いて a=2,b=3 これは α>0を満たす。 [3] α < 0 のとき y=f(x) のグラフは上に凸の放物 軸から遠い端 (x=3) で 最大 頂点 (x=1) で最 小となる。 この確認を忘れずに。 をとれち [a<0] 軸| 線となり,0≦x≦3の範囲でf(x) はx=1で最大値f (1) = -a+b, x=3で最小値f (3) =3a+b をとる。 したがって 最大 近 <軸は直線x=1で区間 0≦x≦3内にあるから, a< 0 のとき -a+b=93a+b=1 これを解いて a=-2,6=7 これはα < 0 を満たす。 以上から a=2, 6=3 または α=-2,6=7 最小 頂点(x=1) で最大 x=0 x=1x=3 軸から遠い端 (x=3) で 最小となる。 この確認を忘れずに。 10 ■ 問題文が “2次関数" f(x) =ax2+bx+cならばα≠0 は仮定されていると考えるが, “関数” f(x)=ax2+bx+c とあるときは, a=0のときも考察しなければならない。

自分の答えと解答の答えが違うのですが⭕️にしてもいいですか

14 【選択問題】 数学Ⅰ 2次関数 ( 2次関数の最大・最小) (配点 50点) 2次関数 y=x2-6x+10 atatz zaf 2 について考える. (1)yの最小値を求めよ.また,そのときのxの値を求めよ (3) (2) 2≦x≦5 におけるyの最大値と最小値をそれぞれ求めよ、M:5(15)、m:1(2=3) (3)αを定数とする. a≦x≦a+2におけるyの最大値を M, 最小値をする. (i)m を a <1, 1≦a≦3,3<a に場合分けして求めよ. (ii)M をαの値で場合分けして求めよ. 4 4-24+10

1枚目の問題、最後青マーカー引いたところに、｢Xの値には言及してないので｣a=4はまとめて含んであると書いてあるんですが、 他の問題を見てみると例えば2枚目の（2）のようにXの値は問題で言及されてないと思うんですが、a=3は場合[1]にまとめずに書いてるんですがそこはなぜで... 続きを読む

例話 192 最大 最小 0000 (f(x)=x-10x2+17x+44 とする。 区間 a≦x≦a+3 における f(x) の 最大値を表す関数g(α)を, αの値の範囲によって求めよ。 © CHART & THINKING 最大 最小 グラフ利用 極値と端の値に注目 』の値が変わると 区間 a≦x≦α+3 が動くから, αの値によって場合分けする。 場合分けの境目はどこになるだろうか? 基本 190 y=f(x)のグラフをかき, 幅3の区間 a≦x≦a+3 を左側から移動させながら考えよう。 大値をとるxの値が区間内にあるか、区間の両端の値f(α) f(a+3) のどちらが大 いかに着目すればよい。 f(a)=f(a+3) となるαの値も境目となることに注意。 f(x)=3x²-2x+17=(x-1)(3x-17) f(x) = 0 とすると 17 x=1, 3 増減表から,y=f(x) のグラフは右下のようになる。 [1] a+3 <1 すなわち α < 2 のとき g(a)=f(a+3)=(a+3)3-10(a+3)2+17(a+3)+44 =a3-a²-16a+32 [2] α+31 かつ α <1 すなわち -2≦α <1 のとき (a)=f(1)=52 a1 のとき,f(a)=f(a+3) とすると a3-10a2+17a+44-a3-a²-16a+32 整理すると 9α2-33a-12=0 よって (3a+1)(a-4)=0 17 x 1 3 f'(x) + 0 - 0 + f(x) 極大 52 44 極小 y=f(x)| N 73 17 a≧1 から a=4 [3] 1≦a<4 のとき ( g(a)=f(a)=a-10a2+17a+44 [4] 4≦a のとき g(a)=f(a+3)=a-a²-16a+32 [1] y y=f(x); [2]yy=f(x): [3] y=f(x); [4] ya y=f(x)¦ 52 x 6章 21 関数の値の変化 AR 0. a x a 1a+3×17 x 11 4 7 x a+3 小泉 a a+3 0 a 1 4 a+3 x 7 In a=4 のとき,最大値を異なるxの値でとるが,xの値には言及していないので, 4≦a として [4]に含めた。 RACTICE 1926 と _f(x)=2x3-9x2+12x-2 とする。 区間 a≦x≦a+1 における f(x) の最大値を表 て求めよ。 a (a) て の 90

最小値を考える時、区間内にあれば、頂点が最小値ということが解答に書いてありません。 なんで考えないんですか？

イ ●82次関数の最大・最小/定義域が動く場合 a を実数とする. 定義域がa≦x≦a+4である関数f(x)=-x-4-6の最大値はαの関数で あるので,これをM (α) と表す. 同じく, 最小値をm(α) と表す. M (a), m (α) を求め, b=M(a), b=m(a) のグラフを ab平面に (別々に) 書け. ( 名古屋学院大) 最大・最小となる候補を利用 前問は, 定義域が一定区間に決まっていて, 関数の方が変化したが, 本間は, 関数の方が決まっていて, 定義域の方が動く問題である。 とは言っても, 前問と同様に解くこ とができる.ここでは, 前問と違うアプローチを紹介しよう. (なお,これらの解法は, 関数と定義域が ともに変化するときも通用する.) 左ページの①~⑦のグラフから分かるように, y=d(x-p2gのグラフが下に凸の場合, 区間α≦x≦B における最小値は, x=が区間内にあれば, 頂点のy座標 q そうでなければ, 区間の端点での値f (α), f (B) のうちの小さい方 区間 α≦x≦ β における最大値は, 区間の端点での値f (α), f (B)のうちの大きい方 である. 結局, 「最大値や最小値になる可能性のある点は、頂点と両端点の3つのみ」 であるから, 「頂点のy座標(頂点が区間内にあるとき) および区間の端点のy座標からなる3つのグラフを描い ておき, 最も高いところをたどったものが最大値のグラフ, 最も低いところをたどったものが最小 値のグラフである」 これは,グラフが下に凸な場合のみならず, 上に凸な場合についても成り立つ。 解答量 y=f(x)のグラフは上に凸である. f(x)=(x+2)2-2 (a≦x≦a+4) であるから, 頂点の座標がa≦x≦a+4にあるとき (←a≦-2≦q+4), すなわち, 6≦a≦-2のとき M(a)=f(-2)=-2 DA それ以外のとき, M (a) = max{f (a), f (a+4)} つぎに, f (x) の最小値は定義域の端点で取るから, m (a) =min{f (a), f(a+4)} ここで,f(α)=-(a+2)2-2 f(a+4)=-{(a+4)+2}2-2=-(a+6)2-2 であるから,b=f(a), b=f(a+4) のグラフは図1のようになる. よって, b=M(a), b=m(a) のグラフは、 図2, 図3の太線である. 図1-6-4-260 図2-6 -2 bo 図3 -4 a b=-2 a -2 ←max {p, g} は,p, q のうちの大 きい方(小さくない方) の値を表 す (min{p, q} は, p, q のうち の小さい方(大きくない方) の値 を表す). ←一般に b=f(α+4) のグラフは, b=f(α) のグラフをα軸方向に -4だけ平行移動したものである. (p.32, 5.1) -6 b=-(a+2)-2 b=-(a+2) -2 -6 b=f(a+4) b=f(a) b=-(a+6)²-2 b=-(a+6)-2

2次関数です 写真の問題（2）について、「軸は区間の中央より右にある」と言えるのはなぜか教えていただきたいです。0<a<2となることはないのでしょうか。

思考プロセス a > 0 とする。 2次関数 f(x) = x2-4x+50≦x≦)について (1) f(x) の最小値 m (a) を求めよ。 (2) f(x) の最大値 M (α) を求めよ。 « ReAction 2次関数の最大・最小は,軸と区間の位置関係を考えよ 場合に分ける 区間 0≦x≦a に文字が含まれる。 αの値が大きくなるほど, 区間の右側が広がっていくことから, 場合分けの境界を考える。 (1) 最小値 軸が区間外 軸が区間内 軸から近い端点で最小 頂点で最小 STE ★★★☆ 例題69 α > 0 であるから, 例題 72のように, 軸が区間より左に なることはない。 右側へ広げていく (2) 最大値 軸から遠い方の端点がx=0 軸から遠い方の端点がx=α 放物線の対称性を利用する。 解 f(x) = x2-4x+5= (x-2) + 1 よって, y=f(x) のグラフは, 軸が直線x= 2, 頂点が点 (2,1)の下に凸の放物線である。 (1) (ア) 0 <a< 2 のとき 1 軸は区間より右にあるから, f(x) は x = a のとき最小と なる。 a²-4a+5 a = 2 は (ア)(イ) のどち らに含めてもよいが、必 ずどちらかには含めなけ ればならない。 区間内で f(x) は減少す 1 よって るから f(0) > f(a) Oa x m(a) = f(a) = α -4a + 5 (イ) 2≦αのとき 軸は区間内にあるから, f(x) は x=2のとき最小となる。 よって m(a) = f(2) =1 (ア)(イ)より m(a) = {a² – 1 1 1 0| 2 a 4a+5 (0<a< 2 のとき) (2) (ア) 0<a<4のとき (2≦a のとき) 軸は区間の中央より右にあるから, f(x) は x = 0 のとき最大となる。 M(a)=f(0) = 5 よって a da Point ② 参照。 軸が区間内にないときも x=0で最大となる。

このような解説のときに、｢0<a/2<2すなわち0<a<4｣みたいに、0<a<4だけでなく、赤字で書かれた0<a/2<2のような過程も必要ですか？0<a<4だけしか書いていなければテストなどでは減点ですかね？

▼区間の位 一に凸の放物線で、軸が区間0≦x≦a に含まれれば頂点で最 aに含まれるときと含まれないときで場合分け 区間xak 最小 [2] 軸が区間 の内 a2のとき と x=2で最小値1 (2) 区間 0≦x≦a の中央の値は である。 2 [3] 0 << 2 すなわち 0<a<4 [3] のとき 図 [3] のように,軸x=2は区 間の中央より右側にあるから, x=0で最大となる。 最大 <指針... ★の方針。 区間 0≦x≦aの中央 12 が,軸 x=2に対し左右 どちらにあるかで場合分 けをする。 最小 最大値は f(0)=5 凸の放物線で,軸から遠いほど x=0| a x= 2 x=2 x=a x=0の方が軸から遠い。 軸 a )。 端から軸までの距離が等しくな 2 [4] 11 =2 すなわち a=4 のとき [4] 軸 一致するような) αの値が場合 図 [4] のように, 軸 x=2は区 間の中央と一致するから, 最大 最大 軸が区間の [5] 軸が区間の 区間の両端 中央に一致 から軸まで の距離が等 中央より左 軸 しいとき。 最大 最大 x=0, 4で最大となる。 開入 区間の 中央(+ S+(x+ 区間の 中央 f(x)=x2-4x+22 最大値は f(0)=f(4)=5 個にある x = 0 |x=4 x=21 軸とx=0aとの距離が 等しい。 3章 ⑩ 2次関数の最大・最小と決定 [5] 2< すなわちα>4のとき 図 [5] のように, 軸 x=2は区 間の中央より左側にあるから, x=αで最大となる。 最大値はf(a)=a2-4a+5 a [3]~[5] から 0<a<4のときx=0で最大値5 a4のとき [5] 軸 最大 x=01 x=0, 4で最大値5 a x=αの方が軸から遠い。 [1] 2009 x=a[1] x=2x=2&On x =αで最大値 α-4a+5 この問題で求めたf(x) の (0) 最小値・最大値はαの関数 になる。 詳しくは,解答編 70の検討 参照。 で,軸は直線x=2 -22+5 a=4のとき まれるかどうかで場合 指針 ★ の方針。 軸x=2が区間 0≦x≦o に含まれるかどうかで, 最小となる場所が変わる。 ーx