Question

受験生

青の線で引いたところで、-2≦t≦2になる理由が分かりません😭

152
重要 例題 91 4次関数の最大・最小
(1)関数y=x6x+10の最小値を求めよ。
00000
(2)-1≦x≦2のとき、関数y=(x-2x-1)-6(x²-2x-1)+5の最大値、最小
値を求めよ。
[(2)類名城大]
基本的
指針 4次関数の問題であるが、 おき換えを利用することにより、 2次関数の最大・最小の
問題に帰着できる。なお,●=t などとおき換えたときは、その変域に要注意!
(2) 繰り返し出てくる式x2x-1 を =t とおく。 -1≦x≦2におけるxx-1の
値域がtの変域になる。
CHART 変数のおき換え 変域が変わることに注意
解答
(1)x=t とおくと
t≥0
[10]
yをtの式で表すと
y=t²−6t+10=(t−3)²+1
≧0 の範囲において, yはt=3の
とき最小となる。
/y=ドー6t+10
1---
最小
0
3
このとき x=±√3
よって x=±√3 のとき最小値 1
(2) x²-2x-1=t とおくと
t=(x-1)2-2
-1≦x≦2から
-2≤1≤2
を式で表すと
2
最大
①
y=t²−6t+5=(t−3)²-4
①の範囲において,y は
t=-2で最大値 21,
t=2で最小値-3 をとる。
y
最大
-21
(実数
このかくれた条件に注意。
y=(x2)-6x2+10
tの2次式基本形に。
t=3つまりx=3を解
くと x=±√3
012
t=x²-2x-1
(-1≦x≦2) のグラフか
x
らtの変域を判断。
最小
t=-2のとき
(x-1)^2=-2
ゆえに
(x-1)²=0
よって
x=1
t=2のとき
(x-1)2-2=2
-2013
ゆえに
(x-1)=4
最小
よって
x=-1,3
-1≦x≦2 を満たす解はx=-1
以上から x=1のとき最大値 21,
x=1のとき最小値-3
(x-1)=4から
x-1=±2
この確認を忘れずに。
基本
1
2

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

ラニ

t=x^2-2x-1と置いて
条件より-1≦x≦2なのでtのとる値の範囲が決まるはずです
t=x^2-2x-1を平方完成してt=(x-1)^2-2
この放物線が-1≦x≦2の範囲でとるtの値(最大値、最小値)の範囲を出しているので
右の図からも分かるように-2≦t≦2となっています