82 第2章 関数と関数のグラフ
練習問題 9
放物線y=9-x とx軸とで囲まれた部分
に,図のように長方形 PQRS が辺 PS がx
軸上にあるように内接している.
点Pのx座標をtとし、この長方形の周の
長さを1(t) とする.
のり得る値の範囲を求めよ.
(2) 1(t) をもの式で表せ.
y=9-x²
Q
SO P
(1.0)
(t) の最大値を求めよ.
精講
この問題では, 「変化する量」 は点Pのx座標, 「変化させられる
「量」は長方形の周の長さです. 変数は放物線を表すことに使われ
ていますので,混同しないように「変化する量」を tで表すことにします。
解答
(1)/y=(z+3)(x-3) なので, 放物線とx軸)=(エ) ¥4 -y=9-3
との交点は, (3) である.
R
AQ 9-t
P(t, 0) は原点と点 (30) の間にあるの
で,そのx座標 tのとり得る値の範囲は,
0<t<3
-3
9-1
3
である.
SO
t P(t, 0)
(2) PQ=RS=9-t2, QR=SP=2t なので,
長方形の周の長さ(t) は
R,
l(t)=PQ+QR+RS+SP
9-12
=(9-t) +2t+(9-t) +2t
=-2t2+4t+18
-2t
P
(3)l(t)=-2(t-2t)+18
この
=-2{(t-1)^-1}+18
=-2(t-1)2 +20
y=(t) t<3 におけるグラフは,右
図のようになる.
よって, l(t) は t=1 で最大値
1(1)=20
をとる.
次
0 1
3
