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例題 85 | w=z+a
w=zの表す図形
点zが原点を中心とする半径rの円上を動くとき, w=z+ (a>0) を満たす
a²
Z
点wが描く図形について考える。
(1)a=r のとき,点wはどのような図形を描くか。
(2) w=x+yi (x, yは実数) とおく。 a<r のとき, 点wが描く図形の式をx,y
を用いて表せ。
ただし、
変
本間では,(2), 「w=x+yi とおく」 とあるから, zを極形式で表して考える。
(2)zを極形式で表すことにより,x,yは0を用いて表されるので,つなぎの文字を
消去して,x,yだけの関係式を導く。そのために sin20+cos20=1 を利用する。
w=z+ =r(coso+isin0)+ (cos 0-isine)
解答 z=r(cos0+isine) (r>0,0≦0<2) とすると
a²
a²
17 = (r+ a² ) cos 0+i (r− a²) sine
r
| (1) |z=r2 より
Z
1/2=732 であるから
Z
w=z+
a²
72
Z
r
(1) α=r のとき,①から w=2a cos 0
Cos91であるから
①な
よって, α=r のとき
w=z+z
JS
とすることもできる。
0≦0<2では-1≦cos≦1 であるから-2a≦w≦2a
よって, 点wは2点-2a,2a を結ぶ線分を描く。
(2) w=x+yi とおくとき ①から
PT
2
a²²
x=(7+ a² ) coso, y = (r− a) sinė
sin20+cos20=1により0を消去すると, a<rから
1J
22
a
+
r
+
2
a²
r
2
=1(楕円)
大
<<a<rであるから
r-
a² = r²-a² >0
=
or r
いつ
