重要例題155 三角形の最大辺と最大角
>1とする。三角形の3辺の長さがそれぞれx°-1, 2x+1, x°+x+1であると
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この三角形の最大の角の大きさを求めよ。
[類日本工大)
基本 153,154
三角形の最大の角は, 最大の辺に対する角であるから, 3辺の大小を調べる。
このとき, x>1を満たす適当な値を代入して,大小の目安をつけるとよい。
例えば,x=2 とすると
x+x+1が最大であるという 予想がつく。
なお、-1,2x1, x°+x+1 が三角形の3辺の長さとなることを,
三角形の成立条件16-c|<a<b+c で確認することを忘れてはならない。
x-1=3, 2x+1=5, x*+x+1=7
となるから,
CHART 文字式の大小 数を代入して大小の目安をつける
解答
x°+x+1-(x?_1)=x+2>0
x°+x+1-(2x+1)=x°-x=x(x-1)>0
よって,3辺の長さをx-1, 2x+1, x+x+1 とする三角形が
『x>1のとき
x+x+1 が最大という予
想から,次のことを示す。
x°+x+1>2x+1
存在するための条件は
三角形の成立条件
6-c|<a<b+cは,
aが最大辺のとき
整理すると
x>1
したがって, x>1のとき三角形が存在する。
また,長さがx?+x+1 である辺が最大の辺であるから, この
辺に対する角が最大の内角である。
この角を0とすると、, 余弦定理により
a<b+c
だけでよい。
0 me
2x+1
-1
0
COs 0=
*+x+1
=-2x+1+4x2+4x+1-(x*+x+1+2x°+2x+2x)
2x°+x°-2x-1
2(x-1)(2x+1)
(2.x°+x°-2x-1
_2xーx+2x+1
2(x-1)(2x+1)
11
-一2個
ミー
したがって
2(x-1)(2x+1)
0=120°
