基本 例題 153 三角形の辺と角の大
B
SSDS
△ABCにおいて,
sin A sin B
√7
√3
= sinC が成り立つとき
(1)△ABCの内角のうち、最も大きい角の大きさを求めよ。
△ABCの内角のうち, 2番目に大きい角の正接を求めよ。
p.230 基本事項 4
指針 (1) 三角形の辺と角の大小関係に注目。
a<b⇔A<B a=b⇔A=B
角の大
重要 155
a>b⇔A>B
大
三角形の2辺の大小関係は,その対角の大小関係に一致する。)
よって、 最大角の代わりに最大辺がどれかを調べる。
B
正弦定理より, a:b:c=sinA : sin B: sin C が成り立つこと
を利用し, 3辺の比に注目。
1
(2)まず, 2番目に大きい角のCos を求め, 関係式 1+tan20=
を利用。
cos² 0
解答
C
(1) 正弦定理
a
b
C
から
sin A sin B sin C
⇒p:r=g:s
q
S
a: b:c=sin Asin B: sin C
条件から
sin A: sin B: sinC=√7:13:1
よって
a:b:c=√7:√3:1
ゆえに,a=√7k,b=√3k,c=k (k>0) とおける。
よって, aが最大の辺であるから、∠Aが最大の角である。
余弦定理により
a
cos A=
(√3k2k2-√7k)2
2.√3k.k
-3k²
√3
b
11/17-11-1=k (k>01
√3
とおくと
=√7k,b=√3k,c=
C
2√3k2
2
したがって,最大の角の大きさは
A=150°
a>b>cからA>B>C
よって, ∠Aが最大の角
ある
(2)(1) から2番目に大きい角は∠B
余弦定理により
A
k2+√7k2-√3k)2
k
√3k
5k²
5
COS B =
2.k.√7k
2√√7k² 2√7
B
√√7k
1+tan² B=
であるから
COS2B
B=
B
tan83-26-1-(2/7)-1-2
A > 90° より B<90° であるから
3
25
25
tan B> 0
したがって tan B=
3
25
5
練習
5
△ABCにおいて
一の角度
(1)の結果を利用。 AA
は鈍角三角形。
8
8
7
が成り
