数IIの円と直線についての問題です。 解説で分からないところがあったのでお聞きしたいです。四角で囲っているところはどういう意味でしょうか。 見にくくてすみません💦問題番号は194です。

(1) 円と直線が共有点をもつための必要十分条件 は D≧0であるから これを解いて -k²+250≥0 -5/10 ≤k≤5/10 (2) 円と直線が接するための必要十分条件は、 D=0であるから これを解いて k2+250=0 k=±5/10 [1] k5v10 のとき 接点のx座標は, ③の重解であるから すな [1] 直円程 れを解いて ③から x-x=0 x=0,1 x=0のとき y=-1, x=1のとき y=0 よって,円と直線②は異なる2点 10, (1, 0) で交わる。 (2) [x2+y^2=3 lx+y=√6 ②から ...... ③ x ② 2 y=-x+√6 が、 これを①に代入して 3/10 6k ④, 整理する 2 ゆえに (√2-√3) 20 2x2-2√6x+3=0 x=- 2.10 と 接点のy座標は 3/10 √10 したがって √√6 y=3x+k=30 +5/10= 2 2 2 x=- 自分 2 3/10 10 3 ③から √6 よって、 接点の座標は 2 2 x=- 2 のときy= √6 2) 2 [2] k=-5/10 のとき よっ よって, 円①と直線②は点 √√6 接点のx座標は、③の重解であるから [2]k 2 で 2 する。 (3) [x2+y2=2 ...... 6k 3/10 x= 2-10 2 接点の座標は y=3x+k=3. 3/10 2 √10 -- 5/10= [1], [2 2 よって、 接点の座標は 3/10 √10 k=5 2 2 [1][2]から k= 5/10 のとき 接点 3/10 /10 2 2 k5v10 のとき 接点 /3/10 10 195 (1) 2 2 [1] a [2x+3y=6 ②から (4) 2 ② y=-x+2 これに代入して - 1/2x+2=2 整理すると 13x2-24x+18=0 この2次方程式の判別式をDとすると =(-12)2-13-18=-90<0 ゆえに、 円 ① と直線②は共有点をもたない Jx2+y2+2x-4y= 0 lx+2y+2=0 ②から x=-2y-2 これを 1 に代入して ...... ① 340 ② ...... ③ (-2y-2)²+ y²+2(-2y-2)-4y=0 整理すると2=0 最大と ③から したがって y=0 y=0のとき x=-2 よって,円 ① と直線 ② は点 (2,0)で接する。 194 連立方程式 Jx2+y2=25 ly=3x+k ②①に代入して ...... ① ② において x²+(3x+ k)²=25 整理すると 10x2+6kx+k-250 この2枚程式の式をDとすると D (3k)2-10(k2-25)=-k²+250 接点のx座標を求める際に2次方程式 Qx2+bx+c=0 の重解がx=- を利用した。 y=3x+kから ② 整理す b であること このx 2a 3x-y+k=0 円の中心(0,0)と直線の距離をdとすると abd=- k また、円の半径は5 √32+(-1)2 k = 10 (1)円と直線が共有点をもつための必要十分条件 は,dS5であるから ゆえに すなわち \k\≤5/10 Ik ≤5 √10 -5/10 ≤k≤5/10 (2)円と直線が接するための必要十分条件は, d=5であるから ゆえに \k\ √10=5 \k\=5/10 よって, -k²- -k²- -k2- とき 別解y= 円の中心 また,円 [1] d<

この問題はなぜ共通な実数解をx＝aとするのですか？またなぜx＝aを代入した2式を引き算したときに出るaとmは題意を満たす可能性がある文字となるのですか？教えてください。

x²-17x+15:0 1842つの2次方程式 x2+(m+3)x +8= 0, x2 +5x+4m=0が共通な実数解をもつように定数m の値を定め、 その共通な解を求めよ。

2次曲線について（2）が分からないのですがt=０の時Xが０,3になるのは何故ですか？０だけでは無いのですか？教えて頂きたいです。（写真は解説を板書したものです）

2 楕円 C:x2+9y2 = 1 と直線l: y=f(x-3) を考える。 ただし, tは実数とする。 (1) C と ℓ が相異なる2つの共有点をもつようなtの値の範囲を求めよ。 また, これら2点を結ぶ 線分の中点Mの座標をを用いて表せ。 (2)tの値が (1) で求めた範囲を動くとき,点Mの描く図形を図示せよ。 [香川大

(2)の重解x=-m+2/2はどうやって出したのですか？ よろしくお願いします🙇

y=x²+(m+2)x+m+4 について,次 352次関数 (1)この2次関数のグラフがx軸と共有点をもつと の問いに答えよ。 ただし, mは定数とする。 きの値の範囲を求めよ。 (2)この2次関数のグラフがx軸と接するとき,接 点のx座標を求めよ。

logを使った面積の問題がはじめてなので解き方が分かりません。 1から教えていただけると幸いですm(_ _)m

[例題7] 連立不等式 log2(x+y^2 かつ log2(x+yl)- 1 log42 により表される図形の面積は アイ ウ 元 である.さらにx, y が連立不等式① を満たすとき, x+2yの最大値は I 最小値はオカであり,また, (x-1)^2+y2 の最小値は キ である. 〔解答〕 log2(x+y^2よりy'2' ...... ② y=x+4 また. log2= =1/2から log:2 log: 4 1 2 log.2 2 y=-x-4 よって. log2(x+yl) 2から | x+y=22 ..... ③ よって, 連立不等式の表す領域は右図の斜線部のようになる. したがって, 連立不等式の表す図形の面積は 32-47 ......アイ, ウ 次に. x+2y=k 1 k y=- とする。この とおく. この直線が上の連立不等式の表す図形と共有点をもつのは,切片が. 70 2 12 y=1-4 2 すなわち, -8≦k8のときに限られる. =d+エロ よって, x+2y=kの .867 最大値は最小値は8 ････エ, オカ また,(x-1)^2+y^は2点 (1,0), (x,y) の間の距離の2乗を意味するから真(☆) (x,y)=(2.0) のとき,最小値 ・キ (+1) + (C+1):(s) 飯

赤線部分の式から、cosxで両辺を割って(ノート)解くと違う答えになってしまったのですが、どこを間違えているのか分かりません🙇🏻‍♀️

*152 2つの曲線 y=2sinx,y=a-cos2x が接するように,定数αの値を定め よ。 ただし, 0≦x<2πとする。

なぜこの断りが必要なのですか？

ですか 198 412 グラ 32 基本 例題 198 方程式の実数解の個数 f(x) = (定数)に変形 logx. ただし, lim =0を用いてもよい。 p.326 基本事項 2 重要 197 x 第 y αは定数とする。 方程式 ax=210g x+log3 の実数解の個数について調べよ 00000 指針▷ 直線 y=ax と y=2logx+log3 のグラフの共有点の個数を調べれ ばよいわけであるが,特に, 文字係数αを含むときは,αを分離し f(x) =αの形に変形して考えるとよい。 このように考えると, y=f(x) [固定した曲線] と y=a[x 軸に 平行に動く直線] の共有点の個数を調べる)ことになる。 [CHART 実数解の個数グラフの共有点の個数 定数αの入った方程式 定数αを分離する 解答 真数条件より,x>0であるから,与えられた方程式は この断りを忘れずに。 2logx+log3 =αと同値。 f(x)= 2logx+log3 とすると x x 定数αを分離。 f'(x)=2 2-(2logx+log3) _ 2-(logx²+log 3) 2-log3x² = XC x² x² f'(x) = 0 とすると,x>0であ e 「とき ・正のとき るから x= x = 1/3 √3 ーのと x>0における増減表は右のよ うになる。 また limf(x)=-∞, limf(x) = 0 x+0 x→∞ y=f(x) のグラフは右図のように なり, 実数解の個数はグラフと 直線y=αの共有点の個数に一致 するから <αのとき0個; x 0 f'(x) f(x) YA 2√3 e 2√3 e 2√3 |y=f(x) a≤0, a= のとき1個; e 2√3 0<a< のとき2個 e + e /3 20 極大 2√3 e 10g3x2=2から 3x²=e² 0であるから x= √ x→ +0のとき x →∞, logx → →∞のとき logx x →0. 1 1x y=a [参考 ロピタルの定 logx lim =lim X

赤い()のところで、なぜ-∞になるんですか？

32 基本 例題 198 方程式の実数解の個数 f(x)=(定数)に変形 00000 αは定数とする。 方程式 ax=210gx +log3 の実数解の個数について調べよ。 logx. ただし, lim =0を用いてもよい。 p.326 基本事項 ② 重要 197 重要 199 x 第8 JA 指 指針▷ 直線 y=ax と y = 2logx+log3 のグラフの共有点の個数を調べれ ばよいわけであるが,特に, 文字係数 αを含むときは,αを分離し f(x) =αの形に変形して考えるとよい。 このように考えると,y=f(x) [固定した曲線] とy=a[x軸に 平行に動く直線] の共有点の個数を調べる ( ) ことになる。 y=f(x) [CHART 実数解の個数グラフの共有点の個数 定数αの入った方程式 定数 αを分離する 解答 真数条件より,x>0であるから,与えられた方程式は この断りを忘れずに。 2logx+log3 2logx+log 3 =αと同値。 f(x)= とすると 定数αを分離。 XC x ƒ'(x)= 2−(2logx+log 3) _ 2−(logx²+log 3) x² f'(x) = 0 とすると,x>0であ e るから x= √3 x>0における増減表は右のよ うになる。 また limf(x)=-∞, limf(x)=0 XC + 2-log 3x² 110g3x2=2から x2 3x2=2 e x 0 f'(x) f(x) 7 2√3 e x+0 x→∞ y=f(x) のグラフは右図のように なり,実数解の個数はグラフと YA 2√3 e x>0であるから /3 0 極大 x→ +0のとき 10 x →∞, logx→-8 x→∞のとき e x= 2√3 直線y=aの共有点の個数に一致 するから <αのとき0個; e 0 x e y=a 2√3 |y=f(x) a≤0, a= のとき1個; e 2√3 0<a< のとき2個 e logx →0. 0 x x [参考] ロピタルの定理から lim 8 logx x =lim

写真のような問題の解き方がわからないので教えてほしいです。🙇

発展 例題 52次不等式が実数解をもたない条件 2次不等式 ax-ax-1>0 が実数解をもたないとき、定数αの値の 範囲を求めよ。 考え方 2次関数y=ax²-ax-1 のグラフの形状が右の図のよ うになればよい。 x D=0 2次方程式 ax-ax-1=0 の判別式をDとすると、条件 は a<0 かつ D≦0 D<0 解答 2次関数 y=ax²-ax-1 のグラフが下に凸のときは,y>0と なる x が存在するから, グラフは上に凸であり a <0 ...... ① また, 2次関数y=ax²-ax-1 のグラフがx軸と2点で交わ るときは,y>0 となるx が存在するから, グラフがx軸と接 するか, 共有点をもたないときである。 2次方程式 ax-ax-1=0 の判別式をDとすると,条件は すなわち よって ① ② から D=(-a)-4・a・(-1)=a²+4a≦0 a(a+4)≦0 -4≤a≤0 ...② -4≤a<0 -4 0 a

問題文で言っている逆像法のような考え方はなんとなく理解できたのですが、なぜ調べるのは、すべての解を含む範囲ではなく、満たす解を少なくとも一つ持つ範囲なのでしょうか？ その場合、満たさない解の範囲までも図示しちゃいませんか？

128 図形の通過領域 (2) 重要 例題 直線 y=2tx-f2+1 00000 ...... ①について、が0に≦1の範囲の値をとって変化す 重要 127 るとき, 直線 ①が通過する領域を図示せよ。 指針 重要例題127と同様, 直線の通過領域を求める問題である。 重要例題 127では,直線 処理できたが,本間のtのとりうる値の範囲には制限 (0≦t≦1) があるため, 判別式だ y=2ax+αのα がすべての実数値をとって変化するため, 実数解条件 (D≧0)だけで けで解くことはできない。 しかし、基本的な考え方は同じで 見方を変えて考えればよい。 つまり、 逆像法で 直線 ①が点(x, y) を通る ① を満たす実数t (0≦≦1) が存在する と考える。 ①をtについて整理すると P2-2x+y-1=0 ...... ② よって, tの2次方程式 ② が0≦t≦1 を満たす解を (少なくとも1つ) もつような x, の条件を求める。 →f(t)=ピ-2xt+y-1とし、放物線 z=f(t) が0≦t≦1の範囲で軸と共有点をも つような条件を調べる(「チャート式基礎からの数学Ⅰ」のか.214重要例題130 参 照)。 なお,正像法による解答は,次ページの別解のようになる。別解の方法では, 2次関 数の最大・最小の問題として進められる分, 考えやすいかもしれない。 ① を tについて整理すると t2-2x+y-1=0 ...... 直線 ①が点 (x, y) を通るための条件は, tの2次方程 式② 0≦ts1の範囲に少なくとも1つの実数解をも つことである。 すなわち、次の [1]~[3] のいずれかの場合である。 ②の判別式をDとし, f(t) =t2-2x+y-1とする。 [1] 0<t<1の範囲にすべての解(*)をもつ場合 条件は D≧0 から よって f(0) > 0から D≥0, f(0)>0, f(1)>0, 軸が0<t<1の範囲にある (-x)^-1(y-1) ≧ 0 y≦x2+1 y-1>0 tの2次方程式と考える。 ■下に凸の放物線。 軸は直線t=x (*) 異なる2つの解または 重解。 [1] 解答 ゆえにy>1 [D=0/ f(1)>0 から 1-2x+y-1>0 よってy>2x D>O 軸は直線t=x であるから 0<x<1 + + 0 まとめると y≦x2+1, y> 1, y>2x, 0<x<1 [2] 10 [2] 0<t<1の範囲に解を1つ, t<0または1<tの範 囲にもう1つの解をもつ場合 f(0)f(1) <0から (y-1)(y-2x)<0 [y>1 ゆえに Jy<1 または Ly< ly>2x 1t または