赤線で引いた部分が成り立つのはなぜですか？

10 検討 (1) (ア) (gof) (x) (fog) (x) を求めよ。 (イ) (ho(gof))(x)=((hog) f(x) を示せ。 g(x)=2x-1, h(x)=- (2) 2つの関数f(x)=x2-2x+3,g(x)= 域を求めよ。 X 解答 指針 (1) (7) gf) (x)=g(f(x)) (f.g)(x)=f(g(x)として計算。 (イ)(go)は、とするとである。 (の結果を利用する。 (2) (gof)(x) = g(/(x)) = 7 まず、f(x)の値を調べる。 (1)_) (gºf)(x)=g(ƒ(x))=2ƒ(x)—1=2(x+2)−1 について, 合成関数 (gf) (x) の値 重要 15. 16 p.24 基本事項 =2x+3 (fig) (x)=f(g(x))=g(x)+2=(2x-1)+2=2x+1 (イ) (gof)(x)=2x+3から (ho (gof))(x)=-(2x+3) 2 (hog) (x)=-(2x-1)2 また よって (hog)f(x)=-{2(x+2)-1)=-(2x+3)^ (ho (gof))(x)= ((hog) of) (x) 1 (x-1)²+2 したがって (2)_(g°f)(x)=g(ƒ(x))=- x2-2x+3 y=(gof) (x) の定義域は実数全体であるから 1 (x-1)+2≧2 ゆえに 0 (x-1)² +2 よって, y = (gof) (x) の値域は 0<y≤2 x である。 g∙f f(x) (gf) (x)=g(f(x)) この順序に注意! (分母)=0 となるxは ない。 <AB>0のとき 0 < 1/1/7247/1/20 1 ②逆関数と合成関数 合成関数に関する交換法則と結合法則, 恒等関数 一般に, 関数の合成に関しては、 上の解答 (1) のように (gof)(x)=(fog)(x), (hᵒ(g°f))(x)=((hᵒg)°f)(x) である。 つまり、交換法則は成り立たないが, 結合法則は成り立つ。 なお, 結合法則が成り立つから、 ん (gof) を単に hogo f と書くこともある。 また関数 f(x) が逆関数をもつとき, y=f(x) ⇔ x=f''(y) であるから (flof(x)=f'(f(x))=f'(y)=x 同様にして, (fof-l) (y) = y が成り立つ。 つまり (f-1of) (x) = (fof-1)(x)=x 変数xにx自身を対応させる関数を 恒等関数という。 練習 (1) f(x)=x-1, g(x)=-2x+3, h(x)=2x2+1について、次のものを求めよ。 ② 14 (ア) (fog) (x) (イ) (gof) (x) (ウ) (gog) (x) (エ) ((hog) of) (x) (オ) (fo(goh))(x) (2) 関数f(x)=x2-2x,g(x)=-x2+4x について, 合成関数 (gof) (x) の定義域と 値域を求めよ。 p.32 EX 11,12

⑴で、どのようにして青マーカーのように式変形されたのか教えて頂きたいです！

0000 (1) △ABCの辺BC上に頂点と異なる点Dをとり, ∠ADB, ∠ADCの二等分 重要例 85 チェバの定理の逆・メネラウスの足の 線が AB, AC と交わる点をそれぞれE, F とすると, AD, BF, CE は1点で (2) 平行四辺形ABCD内の1点Pを通り, 各辺に平行な直線を引き, 辺AB, 交わることを証明せよ。 AB: AR- CD, BC, DAとの交点を,順に Q, R, S, Tとする。 2直線 QS, RT が点0 で交わるとき,3点O,A,Cは1つの直線上にあることを示せ。 指針 (1) △ADB において, ∠ADB の二等分線 DE に対し (2) △ADCにおける ∠ADCの二等分線 DF についても同様に考え,チェバの定理の逆 を適用する。 (2) △PQS と直線OTR にメネラウスの定理を用いて = AE BD CF DA BD EB DC FA DB DC A DOS 1+144 ここで,平行四辺形の性質からPT, TS, QR, PRを他の線分におき換えて メネラ ウスの定理の逆を適用する。 CADE (1) DE, DF は,それぞれ∠ADB, ∠ADCの二等分線で | 内角の二等分線の定理 解答 DA (1) A あるから AE DC CF DB EB' DA FA = ゆえに よって, チェバの定理の逆により, AD, BF, で交わる。 A ● DC DA P.465,466 基本事項 2,4 AJ ! =1 DA AE DB EB A1 = CEは1点 = = A QR PT SO RP TS OQ =1 B E D C

青チャート数Ⅰ基本例題126(2) なぜ、D＞0を確認しなくて良いのか教えて頂きたいです。

208 00000 基本 例題 126 放物線とx軸の共有点の位置 (1) 2 - - st ² -3 m 02/-37640X H&M SE, RO 値の範囲を定めよ。 (1) x軸の正の部分と異なる2点で交わる。 (2) x軸の正の部分と負の部分で交わる。 /(60)=x+ - max + m ² -3 m 2 L 2 8x/718238 D のグラフは下に凸の放物線であるから, グラフをイメージして (1) D> 0, (軸の位置) > 0, f(0)>0 (2) f(0) <0 を満たすように、定数mの値の範囲を定める。 なお, (2) D> 0 を示す必要はない。なぜなら, 下に凸の放物線は、その関数が負の値 をとるとき､必ずx軸と異なる2点で交わるからである。 CHART 放物線とx軸の共有点の位置 D, 軸, f(k) に着目 f(x)=x²-mx+m²3mとし、 2次方程式f(x)=0 の判 解答別式をDとする。 y=f(x) のグラフは下に凸の放物線で , その軸は直線x= =”である。 (1) y=f(x) のグラフとx軸の正の部分が異なる2点で 交わるための条件は,次の [1], [2], [3] が同時に成り 立つことである。 (1) [1] D0 [2] 軸がx>0 の範囲にある [3] f(0)>0 [1] D=(-m)-4(m²-3m)=-3m(m-4) D>0から m(m-4)<0 よって 0<m<4 [2] 軸x=12 m について よって m>0 [3] f(0)>0 から ゆえに m 2 S ->0 ① 2 m²-3m>0 m(m-3)>0 よって m<0,3<m ①,②,③の共通範囲を求めて 3<m<4 (2) y=f(x)のグラフがx軸の正の部分と負の部分で交 わるための条件は ゆえに m²-3m<0 f(0) < 0 したがって 0<m<3 3 よって (1) x軸の正の部分と負の部分で交わる。 (2) x軸の負の部分とのみ共有点をもつ。 m(m-3)<0 m²-3m + (2) 0 0 x<0の 部分の 交点 YA p.207 基本事項 0 (軸) > 0 3 m²-3m/ 4 m ■ 2次関数y=-x2+(m-10)x-m-14のグラフが次の条件を満たすように、定数 mの値の範囲を定めよ。 x>00 部分の 交点

【三角関数】の変換で、こういう法則立てたのですが、これで正しいですか？あと、どこまでやるかわかる方教えて欲しいです。 自分なりの法則【分子の2倍<分母、そして分母と分子が1桁であること】

10 10 り立つ。 YA 1 2 y. 1 P(x, y) SOL 0 -01x Q(x, y) P(x, y) P(x, y) P:0 Q:0+ FINA 次の値を求めよ。 10 sin sin- sin 3 Fast 17 18 T (1) sin 139 三角関数の値 (2) T+cos 10 13 18 一般角の三角関数は, 次の手順により, 鋭角の三角関数で表してから求めるとよい。 2② 2 以上の角は、02の公式で 2 より小さい角にする。 ① 負の角は, -0の公式で正の角に直す。 3 π±0, (4) 各項1つずつの値を求めることができない。 まずは1つずつ 鋭角の三角関数に 直してから考える。 13 +sin sin CHART 一般角の三角関数 鋭角の三角関数に直す by =sin 18 =0 sin (2) cos(-3) (3) tan 13, 4 10の公式を用いて鋭角にする。 2 Utan- -T=tan( 3,2 Dx2T DAT 4 7=sin(7+2x)= 7 9 3 π =tan =1 4 2 A 4 4 (2) Cos (-17) - Cos + x = cos(4 + 2) D T=COS 3 3. 1 =-COS DX27 2 (1 13 (3) tan tan(x+2) = tan-tan (4) R T-sin- TC - 18 73 |=sin 3 || 性質利用 I +37=tan T T sin 十匹 3 (4) sin- π+cos +sin-sin- 18 18 π 一次の値を求めよ。 -10S- sin 2 =sin(x-1)+cos (²x+)+ sin(x-2x)-sin 15 18 18 9 sin(-23)+tan 13x+cos- 6 元 18 6 lost So (2) cos 分子の2倍く分母 π 00000 11 1+tan (-25) 2 π -sin- +sin T-sin- 9 18 (05(一)ダメきれない同じにしたい p.224 基本事項~ 分の2倍く分母 までゆる eos (0+7)==cos ◄tan (0+=tan tan 変形しな tan(0+nπ)=tan 0 (nは整数) sin(7-8)=sin( ◄cos (0+1)=- 225 THE TER! さらに A-sin-²7\ =-sine 桁行 紹介 実で学 カ な に や i

確率の問題です！ (１)の解説がわからないです！ どうして24通りになるのですか？

354 条件付き確率の計算 (2) 基本例題 58 00000 3個のさいころを同時に投げ, 出た目の最大値をX, 最小値をYとし、その差 X-V をZとする。 (1) Z=4 となる確率を求めよ。 〔類 センター試験 (2) Z=4 という条件のもとで, X = 5 となる条件付き確率を求めよ。 1307 指針 (1) 1≦X≦6, 1 ≦ ≧ 6 から, Z=4 となるのは, (X,Y) = 5,1),(6,2)のときである。 この2つの場合に分けて, Z=4 となる目の出方を数え上げる。 (2) Z4となる事象をA, X = 5 となる事象をBとすると, 求める確率は 条件付き P (B) である。 (1) n (A), n (A∩B) を求めているから, PA (B) = して計算するとよい｡ 3! 2! 解答 (1) Z=4 となるのは, (X,Y) = (5,1), (62) のときである。| Z=X-Y=4から [1] (x,y)=(51) のとき X=Y+4 このような3個のさいころの目の組を目の大きい方から 順にあげると,次のようになる。 X6 であるためには Y = 1 または Y=2 (5,5,1),(5,4,1),(5,3,1),(5,2,1),(5,1,1) + 3×3! + =24 3! 2! この場合の数は [2] (x,y)=(62) のとき [1] と同様にして, 目の組を調べると (6, 6, 2), (6, 5, 2). (6, 4, 2), (6, 3, 2), (6, 2, 2) この場合の数は 3! 2! + 3×3! + p.352 基本事項 3! 2! =24 以上から, Z=4 となる場合の数は 48 2 よって 求める確率は 63 9 (2) Z4となる事象をA, X = 5 となる事象をBとすると, 求める確率は 24+24=48 (通り) PA(B) = n(ANB) 24 1 n(A) 48 2 n(ANB) n(A) 組 (5,5,1)と組 (5.1.1)については じものを含む順列を利 同じものがない1個の飲 入る場所を選ぶと考えて、 3Cとしてもよい。 ◄ P.(B) = P(ACB)= P(A)

確率の問題です！ (１)の解説がわからないです！ どうして24通りになるのですか？

354 P.52 基本事項1 ①0000 13個のさいころを同時に投げ, 出た目の最大値をX, 最小値をYとし、その差 条件付き確率の計算 (2) 基本例題 58 X-YをZとする。爆発する (1) Z=4 となる確率を求めよ。 (2) Z4という条件のもとで, X = 5 となる条件付き確率を求めよ。 指針 (1) 1≦X≦6, 1≦Y≦6 から, Z=4 となるのは, (X,Y) = (5,1), (62) のときである。 この2つの場合に分けて, Z=4 となる目の出方を数え上げる。 (2) Z = 4 となる事象をA, X = 5 となる事象をBとすると,求める確率は 条件付き願 PA(B) である。 (1) で n (A), n (A∩B) を求めているから,P,(B)=n(A∩B) を利用 n(A) して計算するとよい｡ 解答 (1) Z=4 となるのは, (X,Y)=(5,1),(6, 2) のときである。|Z=X-Y=4から [1] (x,y)=(51) のとき X=Y+4 このような3個のさいころの目の組を目の大きい方から 順にあげると,次のようになる。 (5,5,1),(5,4,1),(5,3,1),(5,2, 1),(5, 1, 1) 3! 21+3 2! この場合の数は [2] (x,y)=(62) のとき [1] と同様にして, 目の組を調べると (6, 6, 2), (6, 5, 2), (6, 4, 2), (6, 3, 2), (6, 2, 2) =24 +3×3! +3=24 この場合の数は 3! 2! +3 +3×3! + 2! 以上から,Z=4 となる場合の数は よって, 求める確率は 48 2 63 9 (2) Z=4 となる事象をA,X=5 となる事象をBとすると, 求める確率は 24+24=48 (通り) PA(B) =n(A∩B) 24 1 n(A) 48 2 〔類 センター試験) = X≦6 であるためには Y = 1 または Y = 2 組 (5,5,1)と組 (5,1,1) については、 じものを含む順列を利用。 同じものがない 1個の数 入る場所を選ぶと考えて 31 としてもよい｡ ◄ PA(B) =P(A∩B) _n (4) P(A) =-

この問題は排反事象ではないですか？

328 00000 赤,青,黄の札が4枚ずつあり,どの色の札にも1から4までの番号が1つずつ 練習 確率の計算 (3) 基本例題 38 (埼玉医大) 書かれている。 この12枚の札から無作為に3枚取り出したとき,次のことが起 (3) 色も番号も全部異なる。 こる確率を求めよ。 (1) 全部同じ色になる。 (②2) 番号が全部異なる。 指針 場合の総数N は、 全部で4×3=12 (枚) の札から3枚を選ぶ 組合せであるから 12C3通り あり、どの場合も同様に確からしい。 そして, (1)~(3) の各事象が起こる場合の数αは, 積の法則を利用して求める｡ (1) (同じ色の選び方)×(番号の取り出し方) ( 2 ) (異なる3つの番号の取り出し方) × ( 色の選び方) (3)(異なる3つの番号の取り出し方) × (3つの番号の色の選び方) 取り出した番号を小さい順に並べ、それに対し,3色を順に対応させる,と考える。 「(赤,青,黄),(赤,黄,青),(青,赤,黄), *. 例えば、3つの番号 ①1 2 3 に対し 1 つまり, 取り出した番号1組について, 色の対応が3P 3 通りある。 1 解答 12枚の札から3枚の札を取り出す方法は 12 C3 通り (1) 赤, 青, 黄のどの色が同じになるかが 3C通り その色について,どの番号を取り出すかが 4通り ゆえに, 求める確率は (2) どの3つの番号を取り出すかが 4C3通り そのおのおのに対して、色の選び方は3通りずつあるから, 番号が全部異なる場合は 4C3×33 通り +86-21 ゆえに、求める確率は 3C1X4C3 12C3 4C3 X 3³ 12C3 3×4. 3 1220 55 p.324 基本事項 4×27 220 220 27 55 ...... 6 55 同じ色でもよい。 IS> (3) どの3つの番号を取り出すかが 4C3通りあり, 取り出した 赤, 青,黄の3色に対し, 3つの番号の色の選び方が3P 3通りあるから、色も番号も全 部異なる場合は 4C3×3P3通り ゆえに、求める確率は 4C3×3P3_4×6 12C3 = 検付 (1) 札を選ぶ順序にも注目し, N=12P3=12C3×3!, a=3C1×4C3×3! と考える となり 左の解答の式と一致する。 3つの番号それぞれに対し, 3つずつ色が選べるから 3×3×3=33 と, a 3C1X4C3 N 12C3 1,2343つの数を 選んで対応させる,と考え て, 1×4P3通りとしてもよ 音 ((1) (1)

（3）はなぜ同じものが4つ出てくるのですか？

基本例題 18 異なる6個の宝石がある。 (1) これらの宝石を机の上で円形に並べる方法は何通りあるか。 (2) これらの宝石で首飾りを作るとき, 何種類の首飾りができるか。 (3) 6個の宝石から4個を取り出し, 机の上で円形に並べる方法は何通りある 指針 (1) 机の上で円形に並べるのだから, 円順列と考える。のっけ (2) 首飾りは,裏返すと同じものになる。例えば, 右の図の並べ方は円順列としては異なるが, 裏返す と同じものである。このときの順列の個数は、円順 列の場合の半分となる。 (3) 1列に並べると P4 これを同じ並べ方4通りで割る。 いずれの場合も基本となる順列を考えて、同じもので割ることがポイントとなる。 解答 (1) 6個の宝石を机上で円形に並べる方法は 6P6 =(6-1)!=5!=120 (通り) 6 (2) 首飾りは,裏返すと同じになることから (6-1)! = 60 (種類) 2 p.293 基本事項 CHART 特殊な順列 基本となる順列を考えて同じもので割る 重要 20 じものが4個ずつあるから 6P4 6.5.4.3 4 4 $ =90 (通り) 10-2)=2 (3) 異なる6個から4個取る順列 6P4 には, 円順列としては同一般に、異なる JENSA から個取った円東 Pr 総数は 2 !(1-3) == T 1つのものを固定して ものの順列を考えてもよ すなわち、5個の宝石を 列に並べる順列と考えて Y 円順列 基本 (1) は (2) が 指針▷ 円 解 (1) (F 1 万 7 別角 (ア)

（１）ですが隣り合うので一つとみなすところまでは納得いったんですが5!で割る意味が分かりません。 どなたか教えてください🙇

306 00000 同じものを含む順列の応用 重要 例題 32 白色カードが5枚, 赤色カードが2枚, 黒色カードが1枚ある。 同じ色のカ (2) カードは区別できないものとして, この8枚のカードを左から1列に並べると き,次のような並べ方は, それぞれ何通りあるか。 (1) 赤色カードが隣り合う (2) 両端のカードの色が異なる (3) 右端が白色カードで, 赤色カードが隣り合わず,かつ, どの赤色カードも p.293 基本事項2 基本 812 黒色カードと隣り合わない HART & SOLUTION (1) 隣り合う→1つのものとみる (枠に入れる)。 1日白白赤赤黒白 Ad (2)(Aでない)=(全体)(Aである) の活用。 すなわち (両端が異なる色) = (すべての並べ方) (両端が同じ色) (3) 隣り合わない→ 後から間や両端に入れる 回日赤回回黒百 解答 OF FROTTO (1) 2枚の赤色カードを1枚とみなして42 (通り) e trat うヒ 7! 5! 01 基本例題 12 基本例題 8 基本例題12 左の解答において,同じも のを含む順列の数の求め方

154. 記述式の問題で計算の過程において合成を用いるときはこんな感じでも大丈夫ですよね？？

基本例題154 三角関数の合成 00000 次の式をrsin (0+α) の形に変形せよ。 ただし,r> 0, -n <a≦とする。 (1) √3 cos 8-sin 0Snie (2) acsin-cos (3) 2 sin 0+3 cos 0 指針 asin0+bcose の変形の手順 (右の図を参照) ① 座標平面上に点P(α, b) をとる。 ② ③ CHART asino+bcoslの変形(合成) 点 長さ OP(=√²+62), なす角α を定める。 1つの式にまとめる。 asin0+bcos0=√a²+b2sin(0+α) 解答 (1) √3 P(-1, √3)とすると cose-sin0=-sin0+√3cost よって (2) P(1,-1) とすると OP=√(-1)2+(√3)=2 線分 OP がx軸の正の向きとなす角は よって √3cose-sino=-sin0+√3cose = 2sin(0+²37) OP=√12+(-1)=2 線分 OP がx軸の正の向きとなす角は TSK sin 0-cos0= √2 sin(0-1) よって (3) P(2,3)とすると (50)ale 21.30 3 √13 OP=√2+2=√13 また,線分 OP がx軸の正の向きとなす角をαとすると 2 sina= √13 cos a = 2sin0+3cos0=√13sin(0+α) 3 √13 ただし, sina= 点P(α, b) をとって考える cos a= π 2 /13 P(a,b) p.242 基本事項 ① P 2 O 1 ✓a²+6² √3 O ya 1 N √2 yA 0 x P 3 1. √13 22 x x αを具体的に表すことがで きない場合は,左のように 表す。 243 4L 27 三角関数の合成