Question

れいな

青チャート数Ⅰ基本例題126(2)

なぜ、D＞0を確認しなくて良いのか教えて頂きたいです。

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00000
基本 例題 126 放物線とx軸の共有点の位置 (1)
2 - - st ² -3 m 02/-37640X H&M SE, RO
値の範囲を定めよ。
(1) x軸の正の部分と異なる2点で交わる。
(2) x軸の正の部分と負の部分で交わる。
/(60)=x+ - max + m ² -3 m 2 L 2 8x/718238 D
のグラフは下に凸の放物線であるから, グラフをイメージして
(1) D> 0, (軸の位置) > 0, f(0)>0
(2) f(0) <0
を満たすように、定数mの値の範囲を定める。
なお, (2) D> 0 を示す必要はない。なぜなら, 下に凸の放物線は、その関数が負の値
をとるとき､必ずx軸と異なる2点で交わるからである。
CHART
放物線とx軸の共有点の位置 D, 軸, f(k) に着目
f(x)=x²-mx+m²3mとし、 2次方程式f(x)=0 の判
解答別式をDとする。 y=f(x) のグラフは下に凸の放物線で ,
その軸は直線x= =”である。
(1) y=f(x) のグラフとx軸の正の部分が異なる2点で
交わるための条件は,次の [1], [2], [3] が同時に成り
立つことである。
(1)
[1] D0 [2] 軸がx>0 の範囲にある [3] f(0)>0
[1] D=(-m)-4(m²-3m)=-3m(m-4)
D>0から m(m-4)<0
よって
0<m<4
[2] 軸x=12 m
について
よって
m>0
[3] f(0)>0 から
ゆえに
m
2
S
->0
①
2
m²-3m>0
m(m-3)>0
よって
m<0,3<m
①,②,③の共通範囲を求めて
3<m<4
(2) y=f(x)のグラフがx軸の正の部分と負の部分で交
わるための条件は
ゆえに m²-3m<0
f(0) < 0
したがって
0<m<3
3
よって
(1) x軸の正の部分と負の部分で交わる。
(2) x軸の負の部分とのみ共有点をもつ。
m(m-3)<0
m²-3m
+
(2)
0
0
x<0の
部分の
交点
YA
p.207 基本事項
0
(軸) > 0
3
m²-3m/
4 m
■ 2次関数y=-x2+(m-10)x-m-14のグラフが次の条件を満たすように、定数
mの値の範囲を定めよ。
x>00
部分の
交点

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

Tatsu 1126

f(0)＜0 (y切片が負) ならば、D＞0 (x軸と異なる2点で交わる) は当然成立するからです。

つまり、下に凸のグラフで、y切片が負のものを考えると、必ずx軸と異なる2点で交わります。

【数式による説明】

f(x) ＝ ax²+bx+c (a＞0 …★) とします。
※今回の問題では a＞0 (グラフが下に凸)なので、★の条件を付しています

f(0)＜0 より、c＜0 …☆

★, ☆より、ac＜0 …✱

f(x)＝0 の判別式をDとすると、
D＝b²−4ac であるが、✱ と b²≧0 より、
D＞0 が必ず成立する。

分からない事があれば遠慮なく聞いてください。

れいな

理解出来ました！
分かりやすいご説明ありがとうございます。