例題156 高次導関数
関数 f(x)
思考のプロセス
= xe x
自然数nに
についての問題は数学的帰納法を考える。
規則性を見つける
示すべき(* (x) の式を考えるために, f'(x), f" (x), j'' (x) ... を求め,
Je
について, f(x) の第n次導関数 f(") (x) を求めよ。
第n次導関数を推定する。
f'(x) =1e-x+x・(-1)e-x=-(x-1)ex
f"(x) =
f"" (x)
=
:
f(m) (x) =
|と推定
Action》 第n次導関数は,具体例より推定し数学的帰納法で示せ
推定が正しいことを数学的帰納法で示す。
f'(x) = 1·e-*-xe-* = -(x-1)e-*
f(x)=-1.ex+(x-1)e^x=(x-2)e-x
f''(x) = 1.e-x-(x-2)e-x=-(x-3)e-x
f(m)(x) = (-1)*(x-ne-x
これらより
と推定できる。 ① を数学的帰納法で証明する。
310
n=k+1 のとき
[1] n=1のとき, 明らかに成り立つ。
[2] n=kのとき, ① が成り立つと仮定すると
f(x)(x)=(-1)*(x-k)e-x
...1
f(k+1)(x)={f(x)(x)}=(-1)^{(x-ke-x}'
=(-1)*{1-e^x+(x-k)(-e-x)}
=(-1)+1(x-k-1)e-x
=(-1)+1{x-(k+1)}e-x
のときも成り立つ。
n=k+1
よって,
[1], [2] より , すべての自然数nに対して①は成り立つ。
したがって
f(m)(x)=(-1)^(x-ne-x
まずf'(x),f'(x),
f''(x) を求めて f(x)(x)
を推定する。
4章 122 いろいろな関数の導関数
「推定だけで終わらずに,
必ず証明する。
数学的帰納法
[1] n=1のとき成立。
[2] n=kのとき成り
立つと仮定すると,
n=k+1 のとき成立。
[1], [2] よりすべての自
然数nで成立。
| ƒ(k+1)(x) }£
f(k)(x)=(-1)*(x-ke-x
を積の微分法を用いて微
分する。
