波線部分が理解できません😿なぜそのように言い換えられるかが不明ですよろしくお願いします🙇

EN論法で, 数列の極限を攻略しよう! 数列と関数の極限 818 一般項an が与えられたとき,その極限liman の問題は高校でも既に勉 強しているね。でも,数列{an}が極限値 αをとることを示す厳密な証明 法として,大学の数学では,e-N論法をマスターする必要があるんだよ。 イプシロン・エヌろんぼう”と読む。 まず,この “e-N論法” を下に示す。 E-N論法 正の数をどんなに小さくしても,ある自然数 N が存在して, nがn≧Nならば,|an-a|< となるとき, liman=α となる。 n→∞ これだけでは,なんのことかわからないって? 当然だね。 ここは,大学 の数学を勉強する上で, みんなが最初にひっかかる第1の関門だから丁寧 に話すよ。 この意味は,正の実数を小さな値, たとえば, c = 0.001にとったとし ても,ある自然数Nが存在して, 数列 41, 2,., an-1, ax, ax+1, … のうち n≧Nのもの, すなわち ax, ax+1, に対して, α との差αが、 (N,N+1,... ε=0.001より小さく押さえられる, と言っているんだね。 ここで,正の実数は連続性と稠密 (ちゅうみつ)性をもつので,こ を限りなく0に近づけていくことができる。 それでもあるNが存在し n≧N をみたす an について, lan -α < が成り立つといっているわけ ら, n→∞のとき, α はαに限りなく近づいてlim=α と言える だね。 納得いった? 818

(2)で質問です。 イプシロンやSが書かれていない時はそのままdの変化で考えて大丈夫なのですか？

発展例題38 極板間にはたらく力 電気容量 C,極板間隔dの平行板コンデンサーがある。両極板 ⊿x には,±Q の電荷がたくわえられている。 極板間の電場は一様で あるとして,次の各問に答えよ。 +Q -Q (1) コンデンサーがたくわえている静電エネルギーを求めよ。 √(2) 極板間の距離をゆっくりと 4x引きはなしたときの静電エネルギーを求めよ。 V (3) 極板間にはたらく引力の大きさを求めよ。 指針 極板を引きはなす仕事の分だけ,コ ンデンサーの静電エネルギーは増加する。 また, 引きはなす力と極板間の引力の大きさは等しい。 解説 (1) 静電エネルギーをUとして, U= = 2C (2) 極板を引きはなした後の電気容量をCとす る。 電気容量は, 極板間隔に反比例するので、 C'= d+4x -Cとなる。 求める静電エネルギー U'は, U'= 2C' = Q°(d+4x) 2Cd ■発展問題 473 d (3) 極板を引きはなす力の大きさをFとする。 この力がする仕事 F⊿x は, 静電エネルギーの 増加分 U'-Uに等しい。 F4x=U'-U=Q24x F= Q² 2Cd 2Cd 極板間の引力の大きさは,極板を引きはなす ときに加える力の大きさFと等しい。 (1) (注) 真空の誘電率を so, 極板の面積をSとする。 C = S/d から,Cd=Sであり、力の大きさ Q2/(2Cd) はQ2/(2S) と表される。 Q, S, E は極板間隔が変化しても一定であるから,極板 間の引力は一定となる。

この問題の(2)を教えて下さい。模範は-2,-4√3とそれぞれ答えがありましたが、自分はどう計算しても-2/√3,4√3としかなりませんでした。お願いします🙇‍♀️

(75の類題) f(x)=cosx (-/ < * < の逆関数をg(x) とする. 2 2 V3. とg" (1) f(T) f(a)の値を求めよ. (2) * (-1) ²8 (-1/³) と 2 6 24 この値を求めよ.

ε-δ論法による証明がわかりません。 (1)の波線部の不等式がどこから出てくるのか教えていただきたいです。 ε/2Mというのはどこから出てきたんですか？

基本例題031-8 論法による基本定理の証明 下の指針の定理について, 以下の問いに答えよ。 (1) 下の, 関数の極限の性質の [2], および [3] を,e-8 論法を用いて証明せよ。 (2) 下,合成関数の極限をe-8 論法を用いて証明せよ。 指針定理関数の極限の性質(スロー(x)=(x)ノー 関数 f(x), g(x) および実数 α について, limf(x)=a, limg(x) =β とする。 [1] lim{kf(x) +1g(x)}=ka+1β (k, lは定数) x→a x→a [2] limf(x)g(x)=aB [the lim (1/(x) 定理 合成関数の極限 4179744571 x→a x→b YOU 関数 f(x), g(x) について, limf(x)=b, limg(x)=αとし, g(x)はx=6で連続とする。 このとき,合成関数 (gf) (x) について, lim (gf) (x)=α が成り立つ。会場 x→a x→a x→a x→a xx→a [3] lim x→a f(x) a g(x) B E-8 論法による証明であるから、 「 e を任意の正の実数とする」から始める。そして,これに 対応するの値を検討する。 次のような方針で証明を進める。 f(x) (1) 1 1 の極限を求める問題は、f(x) x- g(x) として g(x) g(x) る。 関数の値と極限値との差の絶対値を評価し,途中でどのような仮定が必要になるかを考 05.10 える｡ So I had lot (2) 合成関数g (f(x)) の値を g (f(a)) に近づけるには,gの中にある f(x) をどの範囲で x→a == (ただし,β≠0) eを任意の正の実数とする。 limf(x) =α であるから, ある正の実数品。 が存在して, ()+6011-5 0<|x-a|<品。 であるすべてのxについて|f(x)-α|<s が f(a) に近づければよいかを考え,それに応じてxをどの範囲でαに近づけるか考える。 1o C (+18 解答 (1) 性質 [2] の証明 成り立つ。このとき,α-e<f(x)<α+ であるから |f(x)|≦max{|a-el, |a+c|} S3A/ ここで,M=max{|α-el, |α+el, |β|} とおく。 e≠0 より |a-el, late | の少なくとも一方は0でない から M>0 limf(x) =α であるから,ある正の実数 Ô が存在して E 0<|x-a|<ふであるすべてのxについて|f(x)-al< AMICIAS が成り立つ。 limg(x) =βであるから、 ある正の実数 82 が存在して 1 B を示す問題に帰着させ e-8 論法による証明の 開始。 Jel 4

この問題の4だけお願いします 答え,-T-mg

せ。 , 2 。 [北海道大〕 54. くたてばねによる単振動〉 図のように, なめらかで十分長い直線状の棒 OP を鉛直に立てて 端を水平な床に固定した。 この棒に,同じ質量mの穴の開いた小さ い物体A, B を通した。 物体Aには, ばね定数kの軽いばねをつけ, ばねの他端は棒の端に固定した。 ばねは OP 方向のみに伸縮し, 棒 と物体A,Bの間に摩擦はないものとする。 さらに, 物体Aのばねと は反対側に質量と厚さの無視できる接着剤で物体Bを接着した。 物体 A,Bが押しあうときは物体AとBは離れないが, 引きあうときは引きあう力の大きさが接 床 x=0+ P Telle [00000] 物体B -接着剤 ・物体 A 着剤の接着力以上になると物体AとBは離れる。重力加速度の大きさをgとする。 初めに, ばねはその自然の長さからdだけ縮んで, 物体 A, B はつりあいの位置に静止し ていた。 図のように,このつりあいの位置を x=0 とし,鉛直上向きを正とするx軸をとる。 (1) 自然の長さからのばねの縮みd を,m, kg を用いて表せ。 まず, 接着剤の接着力が十分大きく, 物体AとBが離れない場合を考える。 物体Bをつりあ いの位置から6だけ押し下げ, 静かに手をはなすと, 物体AとBは一体のまま上下に振動した。 (2) この振動の周期を, m, kを用いて表せ。 (3) この振動をしているときの物体A, B の速さの最大値を, m, k, b を用いて表せ。 物体AとBが一体のまま運動しているときの両物体の位置の座標をxとする。 また,物体 Aが物体Bから受ける力をTとし, x軸の正の向きをTの正の向きとする。 つまり, Tが 正のときは物体AとBは引きあっているが, Tが負のときは押しあっていることになる。 (4) このとき, 物体Bにはたらく力を, m, g, T を用いて表せ。 x軸の正の向きを物体Bには たらく力の正の向きとすること。 (5) 物体 A, B の運動方程式を考えることで,Tを, m, k, g, x を用いて表せ。 020 (6) T をxの関数として, -3d≦x≦3d の範囲でグラフに描け。 ただし, ここでは6>3d とする。 次に, 接着剤の接着力が小さく, 物体A,B間の引きあう力の大きさがmg以上になると, 物体AとBは離れる場合を考える。 ただし, 離れる瞬間の前後で,物体AとBの運動エネル ギーや, ばねの弾性エネルギーは変化しないものとする。 2246 物体Bをつりあいの位置から6だけ押し下げ, 静かに手をはなすと, 物体Bは運動の途中 で物体Aから離れた。 (7) 運動の途中で物体Bが物体Aから離れるためには,bはある値6 以上でなければならな い。 bı を, m, k, g を用いて表せ。 (8) 物体Bが物体Aから離れた瞬間の物体Bの速さを, m, k, g, b を用いて表せ。 [22 千葉大 ]

1+cosx=tで置換したのですが、上手く答えが合わなかったので解ける方お願いします🙏

! 積 から 基本例題223 三角関数の不定積分 (2) 2 | 次の不定積分を求めよ。 の来ま sinx-sinx (1) 1+cos x (1) PALETI 1 (2) 指針▷ 被積分関数が f (cosx) sinx, f (sinx) cosxの形に変形 cosx=t, sinx=t とおくことにより, 不定積分を計算す sinx dx sinx sinx−sin3x (1-sin²x)sinx__cos²x 1+cos x == = == dx a =S₁ 1 2 sinx _ sin²x sinx sin²x 解答 I cosx=t とおくと, -sinxdx=dt であるから sinx−sin3x 1+cos x dx = S ₁ ² 1+cosx +t-log/1+t+C +)dt --~√(1-1+_+_ )a²0= -——+1-10g|1+11+C 29 -cosx+cosx−log(1+cosx)+C@ 1+cosx 1 1-cos²x 42 cosx=t とおくと, -sinxdx=dt であるから -dx=S₁² (2) S dx sinx sinx sinx dx 1-cos²x 1+cosx cos²x sinxdx=-S₁+dt 1 dt sinx

2番からお願いします。答えは貼っている通りです

やや 471. くし形電極のコンデンサー■ 図のように,面積がSで , 同じ形の4枚の導体平板 I,Ⅱ, ⅢI, ⅣV を互いに平行に並べ, 「 I I と ⅢI,ⅡI' と Ⅳ をそれぞれ導線で接続する。 IとⅡIの間隔, およびⅢIとⅣの間隔はD, ⅡIとⅢの間隔はdである｡ ⅠとⅢI の電荷の合計と,ⅡIとⅣVの電荷の合計は,互いに逆符号で同 じ大きさである。 導体平板間は真空であり,真空の誘電率を ED とする。次の文の()に入る適切な式を答えよ。 IのⅡに面した側の表面にある電荷をQ(>0) とする。 ⅠとⅡIの間の電場の強さは ( 1 )である。 ⅡIとⅢの間の電場の強さは ( 2 ) ⅡIのⅢに面した側の表面にある 電荷は( 3 )である。 さらに,ⅢのⅣに面した側の表面にある電荷は ( 4 )である。 以上から,IとⅢを一方の極板とし, ⅡIとⅣを他方の極板としたコンデンサーの電気容 量は( 5 ) となる。 (12. 慶應義塾大改) ヒント 469 (1) 極板 AD からなるコンデンサーと, 極板 BD 470 (1) 金属板内はどこも等電位であり, 金属板を挿 471 IとⅢIIとIVはそれぞれ電位が等しく, IとⅡ IV SD D di D コンデンサーの並列接続とみなせる。 後で極板間の電圧は一定である。 1. ⅡIとⅣの電位差は等しい。

y=logxの第ｎ次導関数を教えてください。答えは書いてる通りです

J.loge nok (-1)^(^~!)! In

2枚目のグラフを参考にして、この問題の解き方を教えてください。

2.4. 1f(-11<0.2 32 11-74 '72.6 となる8を求める

先日、190nmから600 nmまでの紫外可視吸光度測定を行いました。 測定後に「イプシロン値出しといて。」と先生に言われました。 これは極大吸収波長のイプシロン値を全部出せばいいのでしょうか？