⑨ (1) a1=7, an+1=-
4a, -9
a-2
(東京理科
【解答】
+1=3 とすると,
a=3
特性方程式
4x-9
であり, a=3 とすると,
x=-
x-2
1=3 さらには, aμ-2=3, ..., a1=3
を解くと,
これは,,=7であることに矛盾する。
x2-2x=4x-9
ゆえに、すべての自然数nにおいて, an≠3 ... ①
x2-6x+9=0
与えられた漸化式から,
4a-9
(x-3)20
x=3
an+1-3=
・3
an-2
a-3
@n+1-3=
a-2
この解をαとし
1
bm=
an-a
①より両辺の逆数をとると,
1
an-2
an+1-3
a-3
とおきたいのだが,
(分母)=am-3≠0
を示さなければならない
ので,背理法を利用した
+1
an+1-3
a-3
ここで, bm=
a-3
とおくと,
b1=b+1
1
ゆえに, 数列{bm} は初項 b1=
1
=
a₁-3
4
公差1の等差数列より,
bm=
=1/12+(n-1).1=41
4n-3
4
よって,
1
4n-3
=
an-3
4
4
4-3=
4n-3
12n-5
a錠
4n-3
