高校数学の問題です。 この答えはあっていますか？

複素数α,βについて次のことが成り立つ。 共役複素数の性質 ((0-)nizi+ (9-)) = (nizi+0203)=IW 1 α+β=α+B 2α-B=a-B a 3 αβ=αβ 4 = a B B 例5 複素数α,βについて, α+β=1のとき, a+βを求めよ。 4

【複素数平面】共役複素数の性質 ⑴別解の赤マーカー部分がわからないです。 『|z+a|^2,|a|^2は共に実数である』ってあるんですがどーゆことですか？

22 基本 例題 79 共役複素数の性質(2) 定数αは複素数とする。共 00000 (1) 任意の複素数zに対して,zz+az + az は実数であることを示せ [(1)岡山大〕 (2) αz が実数でない複素数 z に対して, az-az は純虚数であることを示せ。 CHART & SOLUTION 複素数の実数,純虚数条件 共役複素数を利用 2 が数 p.417 基本事項 3 基本 78 重要 83 zが純数 ただし,z0 (1) w=zz+az+αz とおいて,w=w を示す。 morujo 24 複素数平 るかが 4点 z=a+ である これか 解答 v=az-az とおいて,v=v かつ v0 を示す。 S-01=sS+sal (1) (1)w=zz+az+αz とする。 両辺の共役複素数を考えると ① となる 複素 z=a Z w=zz+az+az Zi ここで (右辺)=zz+az+az=zz+αz+az =zz+az+αz=w 6+01 したがって, w=w であるから, zz+αz+αz は実数であ 共役複素数の性質を利用。 α, β を複素数とすると α+β=a+β, a=α の る。 0=b (別解 (1までは上と同じ) (z+a)(z+α)=zz+az+az+ad から w=(z+a)(z+α)-a =(z+a)(z+α)-α aa =2+a2-a² || を用いた別解。 0=b+5+ 0=b+00 +wo+ (z+α|aはともに実 したがって,zz+az+αz は実数である。野党数である。 v=az-az とする。 αz が実数ではないから よって azaz azaz ゆえに azaz≠0 az 実数 ⇔ az = az すなわち v≠0 v=azaz の両辺の共役複素数を考えるとv=az-az ここで (右辺)=az-az=-az+az=-v したがって, v=v かつ v≠0 であるから, az-azは 純虚数である。 PRACTICE 79 であるから, αz が実数でない ⇔azaz (1) zz=1 のとき, z+ は実数であることを示せ。 2 [類 琉球大〕 2が実数でない複素数zに対して,(Z)は純虚数であることを示せ。 2

証明がわからないです。コツを教えて欲しいです。

例 11 共役複素数の性質 (2) 複素数αについて、 次のことを証明せよ。 |α|=1のとき, α+は実数である。 a 解答 |α|=1のとき, |α|2=1であるから zz= |2|2を利用するために, 12 の式を作る。 202x- 1 αα = 1 すなわち α== ここで a+ ==α+ a ccc +=+ (1) = a+ 1 = 1 + 2 1 a (/)= a == +ā +α a α+- ≒=a+ よって,+1=2+1/2 であるから,+1は実数である。 実数⇔z=z a a a 川練習 21 複素数αについて, 次のことを証明せよ。 22 複素数αについて、 次のことを証明せよ。 (α)'+- lal=1のとき,(a)+(by は実数である。 (α)2 ||=1のとき, +1 は実数である。 4

例題の手法が厳しいです😥 (1+i)+(1-i) と仮定して (1-i)(1+i)=2 として大丈夫でしょうか？

例 9 共役複素数の性質 (1) 複素数 α,βについて, α-β-i=0 のとき, α-β を求め よ。 解答 α-β-i=0から a-β=i 両辺の共役複素数を考えると a-β=i すなわち a-B=-i 基本 BR α-β=a-B を利用。 i=0+iであるから i=0-i=-i 17 複素数 αβ について,次の問いに答 18 複素数α,β について,次の問いに答 えよ。 えよ。 (1) α+β=2のとき, α+3 を求めよ。 ar (1) α+β=-1 のとき, α+βを求めよ。 = += (1) .2 S+1-8 J-S=D (1) (2) α-β+2i=0のとき, α-βを求めよ。 (2)α-β+i=0のとき, α-B を求めよ。 (3) αβ=1のとき, αを求めよ。 (3) αβ=3i のとき, a を求めよ。

(2)すなわち、より下の部分が分かりません。 なぜすなわちの部分が言えればαバーが解を持つと言えるのですか？

(1) 複素数zが,3z+2z=10-3i を満たすとき, 共役複素数の性質を利用し て, zを求めよ。 (2) a, b, c, dは実数とする。 3次方程式 ax3+bx²+cx+d=0 が虚数α を解にもつとき,共役複素数αも解にもつことを示せ。 CHART & SOLUTION 複素数の等式 両辺の共役複素数を考える p.417 基本事項 nomujo 2 実 (1)共役複素数の性質を利用してぇとえの式を2つ作る。zとぇの連立方程式と考え,z を求める。 (2)x=α が方程式 f(x)=0の解⇔ f(α)=0 →>> f(d)=0 が成り立つことを示せばよい。 解答 (1) 3z+2z=10-3i ・・① とする。 ...... ①の両辺の共役複素数を考えると よって 3z+2z=10+3i 3z+2z=10-3i 共役複素数の性質を利用 snsoα, β を複素数とすると a+b=a+B 更に, k を実数とする ゆえに 3z+2z=10+3i すなわち 2z+3=10+3•••• ② ① ×3-② ×2 から ゆえに z=2-3i 5z=10-15i 実 その点だけである? (2) 3次方程式 ax+bx+cx+d=0 が虚数αを解にもつ から aa+ba2+ca+d = 0 が成り立つ。 ka=ka, a=a ← x=α が解⇔ を代入すると成り立 両辺の共役複素数を考えると aa+ba2+ca+d=0 よって aa+ba2+ca+d=0 -0 ゆえに aa+ba2+ca+d=0 すなわちα(a)+b(d)2+ca+d=0 a, b, c, dは実数で るから a=a,b=b,c= d=d0=0 これは,x=α が3次方程式 ax+bx2+cx+d=0 の解 であることを示している。 また よって、3次方程式 ax+bx2+ cx+d=0 が虚数αを解 にもつとき,共役複素数αも解にもつ TION a=(a)" 実数係数の方程式の性質 複素数 x=αも方程式

赤線部分の意味が分かりません🙇🏻‍♀️

DABC 173 複素数α, β について, aβ-α β は純虚数であることを証明せよ。 ただし, α は実数でないとする。

5の（1） 解答と証明方法が異なっていたのですが、これは証明出来ていますか？

4 基本例題 5 共役複素数の性質 (2) [定数αは複素数とする。 [ (1) 岡山大 ] (2) az が実数でない複素数zに対して, az-αz は純虚数であることを示せ。 (1) 任意の複素数zに対して, zz+αz+αz は実数であることを示せ。 p.9 基本事項 4, 基本4 10 CHARTI ⓒ So OLUTION 複素数の実数, 純虚数条件 が実数 が純虚数⇔ z=-z ただし, キ0...... (1) w=zz+az+αz とおいて, w=w を示す。 (2) v=az-dz とおいて,v=-v かつひ0を示す。 TS-4 解答 (1) w=zz+az+αz とする。 両辺の共役複素数を考えると ここで w=zz+az+αz (右辺)=zz+αz+az=zz+αz+az (z+α)(z+α)=zz+az+az+ad から w=(z+a)(z+a)- aa = (z+α)(z+α)-aa b =zz+az+az=w したがって, w=wであるから, zz + αz + αz は実数である。 別解 (①までは上と同じ ) =|z+α|2-|α|2 したがって, zz + αz + αz は実数である。 18+0=sS+ SS + 3 E + 共役複素数の性質を利用。 α, βを複素数とすると a+β=a+B,α=α 0 ++ 重要 8 複素数 られる ←αα = α を用いた別解。 ズ Jeb |z +α, la はともに実 数である。さ

どこが間違えているのか分かりません。 よろしくお願い致します。

● 例題 4 共役複素数の性質の利用, 複素数の実数 純虚数の条件 (1) ** (1) 複素数 α,β に対して, z=aβ-βα は実数か,純虚数かを調べよ. ただし, z=0 とする.+ (2) a,bは実数,nは自然数とする.u=(a+bi)”+(a-bi)” は実数で あることを証明せよ. 考え方 zが実数⇔ z=z zが純虚数⇔z=-zかつ zキ0 解答 (1) z=aβ-Ba より, z=aβ-Ba =αB-Ba =aβ-Ba =-(aß-ßa)=-z よって, z=-z が成り立ち, z=0 であるから, zは 純虚数である a=α, B=B

写真の下線部についてですが、①と②のz1をそれぞれ置き換えても、z2が①②の両辺から消えるだけだと思うのですが、なぜz1-z2とz1/z2が示せたことになるのですか？

共役複素数の性質 I 複素数 Z1,Z2に対して とおくと, 共役の記号は,和, 積に関して 「分配」できるというものです。決して当た り前ではありませんので、きちんと式で確認しておきます. z=a+bi, 2=c+di (a, b, c, d は実数) ① 21+2=1+22 ② 132=122 です. 一方 21+22=(a+c)+(b+d)i, z182=(ac-bd)+(ad+bc)i 21+2=(a+c)-(b+d)i, z1z2=(ac-bd)-(ad+bc)i 4 HAOS 44+ 1-d 21+2=(a-bi)+(c-di)=(a+c)-(b+d)i ス・ミュ=(a-bi)(c-di)=(ac-bd)-(ad+bc)i ですから,確かに性質 ① ② が成り立っています.さて, ① の z1をZ2に, 024293 に置き換えれば、次の式がすぐに導けます。 22 ②のスを di ŠŠT v C61017)-sis - 21-22 = 21-21 22 the つまり,共役の記号は差や商についても同じようにして｢分配｣することが できます.

丸の部分がなぜアルファーバーではなくベータバーなのですか

B.= k d 3-6₁²= B + By i 6 【共役複素数の性質】 α, βについて,次のことを証明せよ。 ■ OF + ap は実数である。 αB+ āß = dB + dp lal=1.181=1のとき 1/12/18=4+ =a+ß 121²= | |A1²³ = 1 22=1 2= 2 B = B 6=3 By 2)を求めよ。 (22+3=3+1 (右)= 7 素数zが, 2z+z=3+i を満たすとき, 次の問いに答えよ ■ 2v+z を求めよ。 2匹+z=2x+z = ターし ①