(1)(イ)についてです。 写真のハイライトした部分がどうしてこうなるのか分からないので、教えて頂きたいです。 御回答よろしくお願い致します。

547 演習 例題130 合同式の利用 累乗の数の余り 合同式を利用して、 次のものを求めよ。 0000 (1) (ア) 13100 9で割った余り (2) 472011 の一の位の数 (イ) 20002000 を12で割った余り [(イ) 早稲田大] [(2) 類 自治医大] p.544 基本事項 3 4章 発展 合同式 指針 乗法に関する次の性質を利用する。 a=b (modm),c=d(modm) のとき 3 ac=bd (mod m) 4 自然数nに対しα=b (mod m) (1)累乗の数に関する余りの問題では、余りの周期性に着目することがポイントであ る。また, 合同式を利用して、 指数の底を小さくしてから, 周期性を調べると計算が らくになる。 注意 αのαを指数の底という。 特に, "≡1(mod m) となるnが見つかれば、問題の見通しがかなり良くなる。 (2)ある自然数 N の一の位の数は,Nを10で割ったときの余りに等しい。 したがっ て 10 を法とする剰余系を利用する。 CHART 累乗の数を割った余りの問題 余りの周期性に注目 (1) (ア) 134 (mod9) であり 解答 42=16=7 (mod 9). 43=64≡1(mod 9 ) ゆえに 4100=4•(43)33=4・133=4(mod9) よって 13100=4100≡4 (mod9) したがって 求める余りは 4 13-49 であるから, 13 と4は9を法として合同 であることに着目し、4" に関する余りを調べる。 132 13 を9で割った余 りを調べてもよいが, 般に 42 43の方がらく。 2000 の計算は面倒。 - 2000を12で割った余り は8であるから, 2000 と 8は12を法として合同。 したがって, 8" に関する 余りを調べる。 (イ) 2000=8 (mod12) であり 82=644 (mod 12), 8°=8・4=8 (mod12) 8'≡(82)2=42=4 (mod12) ゆえに, kを自然数とすると よって 82k=4 (mod12) 2000200082000=4(mod12) したがって, 求める余りは 4 (2)477 (mod 10) であり 72=499 (mod 10), <47=10・4+7 7°=9.7≡3(mod 10), 7=92=1 (mod 10 ) ゆえに よって 72011 (74) 502.78=1502.3=1・3=3(mod 10 ) 2011=4・502+3 472011=72011=3 (mod10) したがって, 472011 の一の位の数は 3 合同式を利用して 次のものを求めて

266 (1)〜(3)について、式変形？をする時に2πを使う時と使わない時の違いがわかりません。公式が4種類あると思うんですが、使い分けの仕方もよくわかりません。どなたかこの問題の解き方、考え方について丁寧に解説してくださると幸いです。

266 * 次の三角関数の値を、鋭角の三角関数で表し, その値を求めよ。 7 → (1) sin π 3 tan(-) COS (2) cos(-1/2) π 教 p.128 例 7, p.129 例8

・数学① フ、へ、ホについてです 三枚目にふたつ疑問点書きました、よろしくお願いします🙇 一枚目は問題です、見にくくてすみません

〔2〕 四角形ABCD は円に内接しており Sin 460010A AB=1, AD=2, ∠BAD = 120°, sin∠ABC= 3/21 14 を満たしている。 BP=1+4+2.14(-2) /1200 BC 2 (1) BD = セ =7 (3) 下線部の条件を変更して, 四角形 ABCD の形状がただ一つに定ま るようにしたい。ここで,k, lを定数として, 下線部の条件を次の(ア) または(イ)に変更する。 1660 であり, 四角形ABCD は半径が- (ア) sin ∠ABC=k (イ) cos ∠ABC=! ここで, ∠ABCの大きさについて チ の円に内接している。 また ∠ABD < ∠ABC < 180°∠ADB が成り立ち さらに AC= ACx である。 3√31 近 V21 = 2 3 14 ACA が成り立つ。 巨 200 2R sin∠ABD = sin∠ADB = √21 14 2√7 3242) BC=1&t cos∠ABC ABC)x-8=0 COS ∠ABD= 5√√7 COS ∠ADB= =R 7 14 N7 1x A……① 21 3 COS ∠ABC = ± V 17 ニヌ 14 (数学Ⅰ. 数学A第1問は次ページに続く。) 7 ズーグ56:0 x2-201 V7 = x-8=0 189 (x8)(x+9) 7 56 7x2-√7x56:0 であるから x2(2cosABC)×8=BC= または BC= ハ 9=x+x=2xcosABC x22x10sABC-8⑦ √ X = Copy/125 である。 すなわち, 四角形ABCD の形状は2通り考えられる。 固くた 14 8 2C またはk = である。このことを用いて, 四角形ABCD の形状がただ一つに定まるよ うな(ア)のk.(イ)のそれぞれの条件を考える。 下線部の条件を(ア)に変更するとき, 四角形ABCD の形状がただ一 つに定まるようなkの条件は 1 下線部の条件を(イ)に変更するとき、四角形ABCD の形状がただ一 つに定まるようなしの条件はホである。ホ 5171217 の解答群 14 7 V21 ⑩ 0<k< 14 ① 0<ks- V21 14 V21 V21 2 0≤k<- ③ osks 14 14 → /21 /21 (5) <ks 14 14 sk< ・Sks 14 7 -6 x= 72 x= 14 (数学Ⅰ 数学A第1問は次ページに続く。) -7-

252 (1)の解き方あっているのでしょうか。 また、(2)はどこからどうしていけばいいのかわかりません。どなたか解説してくださると幸いです。

252 次の等式を証明せよ。 (1)* (1+sin + cos 0 ) 2 + (1 + sin 0 - cos 0)²=4(1 + sin 0) (tsi=ALする。 (FJD) = (A+ (050)² + (A-cos 0) (A+co50) 1 1 (A+Ac050 cca50) + (A²=>Aco50 +050) 24+20050 = 2 (I+sing) +20050. = 2 (1+25/10 + siño) + 20050 = 2 + 4s in a fasing + 2005 al cos²-sin20 1- tan 0 (2) 1+2sin cos = 1+tan0 17 =2(1+25th Ofsi 01008 =2(2+2sino) =4(1+sinQ)=(6) よって、 (it sind + Coro) + ((tsino-co = 4((fsino) >どこからどうしていけば いいのかわからない

生物基礎です。この実験で何のための実験で、なにが起こったのか全く理解できません。わかりやすく説明してほしいです。🙇‍♀️

展 探究の歴史 分化した細胞は同じ遺伝情報をもつのか? 分化してさまざまな形や機能をもつようになった細胞が,受精卵と同じ遺伝情報をもっ ているということは、どのような実験によって明らかになってきたのだろうか。 1. ガードンによるクローンカエルの作製 イギリスのガードンは,分化した細胞の 核にも受精卵の核と同様の遺伝情報が含ま れるかを確かめる実験を計画した。 1962 年, ガードンは,アフリカツメガエルの幼 ►p.241 生の腸の上皮細胞から核を取り出し, これ を、紫外線を照射して核のはたらきを失わ せた未受精卵に移植する実験を行った(図 Ⅱ)。 この実験の結果, 低い確率であるが, 核を移植した卵からアフリカツメガエルの 正常な幼生や成体が得られた。 このことか ら,分化したカエルの細胞の核にも, から だをつくるのに必要なすべての遺伝情報が あることが示された。 ①図 I ガードン ~ 紫外線照射 腸の上皮 細胞の核 幼生 腸 未受精卵 腸の上皮細胞 腸の上皮 「細胞の核 幼生 成体 図Ⅱ アフリカツメガエルの核移植実験 この実験で得られた個体と、核を取り出した個体とは, 同じ遺伝情報をもっている。 しかし,分化したカエルの細胞を取り出して培養しても、成体は得られない。これは, 分化に伴って,不要な遺伝子は発現しないようロックされてしまうからである。受精卵は, 1個の成体を構成するすべての細胞をつくり出す能力をもっており、このような性質を全 能性という。分化した細胞は、 一部の遺伝子がロックされることで, 全能性を失っている。 のうせい ぜん 98 第1編 生物の特徴 15

82の⑶で、なんでA 1が鈍角で考えたらダメなんですか？あとなぜ五つの頂点から二つ取れば必ず鈍角作れるとかわかるんですか

考 合 2 3 20 23 61+45+20=76 4 カードの入れ方の総数=5441 24 24よって直角三角形になるのは、2点が直径 直径となる2点の組み合わせは4通り。 サ 908+ 108 2 900 .918 120 3-2 120 359.65 120 17 17 2 20 60 11 12 120 10.9 432 3473 27543 300 3:2 3 8 10 4 15 4.8 2 150 7:6-5 3.2 152 (2) その各々に対し、三角形となる点の組み合わせ 方が6個ずつあるから、24 3 • 3CY.ICL 10C2 5 120 の箱にカードを入れる方 ドと箱の番号が一致する 人。 22 5 場合の数 確率 82. 〈円周上の点で三角形を作るときの確率> 円周上に等間隔にn個 (n≧4)の点が配置されている。これらの点から異なる3点を 6 図形の性質 作為に選び出し, それらを頂点とする三角形をつくる。 (1)8 のとき,三角形が直角三角形になる確率を求めよ。 (2)が偶数であるとき,三角形が直角三角形になる確率を力の 121 A 86. <三角形の内角の二等分線〉 △ABCにおいて, AB=12, ∠Aの二等分線と辺BC 分する点をE, ACを16に内分する点をFとする わるとき, 辺 ACの長さを求めよ。 参考 完全順列の性質 1~nの数字を1列に並べた順列のうち、どのk番目の数もんでな いものを完全順列という。 n個の数の順列 1,2,…,nの完全順列の個数を W(n) とすると, 一般に次のように表される。 W(1)=0, W(2) =1, W(n)=(n-1) {W(n-1)+W(n-2)(3) 82 〈円周上の点で三角形を作るときの確率> (3) 12個の点を順に A1, A2, A1z とする。 37. <三角形の辺の内分点と面積比〉 1辺の長さ1の正三角形ABCにおいて, BCを1:2に 内分する点をE, AB を 12に内分する点をFとし とADの交点をQ, ADとBEの交点をRとする。 こ の (12)直角三角形 1辺が円の直径となるとき 同 ◆番号を選ぶ。 まず, A. が鈍角三角形の1つの頂点で, ∠A, が鋭角となる場合を考える。 (1)8点から3点を選ぶ方法は全部で C3=56(通り) ある。 は ◆カードと箱の番号 なる番号を固定し は ←s C2通りの番号の 三角形が直角三角形となるのは,三角形の1辺が円の直径となると ++ したがって, 直角三角形が得られる3点の選び方は,円の直径の両 きである。 端となる2点の選び方が4通りあり,そのそれぞれについて残りの 1頂点の選び方が6通りあるから, 全部で4×6=24(通り) ある ◆円の直径の両端となる2点 の選び方は 8÷2=4(通り) 円に内接する四角形ABCD において対角線 BD 上に 点Eをとる。 また, ∠BAD=96°, ∠ABD=35° とす 1) ∠ACB の大きさを求めよ。 AB-CD = AC-BE であることを示せ。 3) ABCD + ADBC = AC BD であることを示せ。 8点から,任意に3点を選 んで結べば、1つの三角形 ができる。 3. 〈辺の長さの等式に関する証明〉 2) れぞれに対し、 同 カードを入れる方 り。 よって, 求める確率は 24-3 56-7 ← (1) と同様に、番号 てみる。 直角三角形が得られる3点の選び方は,円の直径の両端となる2点 の選び方が通りあり、そのそれぞれについて残りの1頂点の選 び方が (n-2)通りあるから,全部でn(n-2) 通りある。 > 2 すべての場合を よって、求める確率は n(n-2) n(n-2) 2 3 - „C3 n(n-1)(n-2) n-1 3.2.1 (2)n個の点から3点を選ぶ方法は全部でC3通りある。 ◆直角三角形の直角の頂点は、 斜辺の両端の2点を除く (n-2) 個。 <三角形の頂点から下ろした垂線を直径とする円と三角 ABC において, 点Aから辺BCに垂線AH を下ろす AB, AC の交点をそれぞれD,Eとし,円の半径 線分 DB の長さを求めよ。 線分 HC と線分 CA の長さをそれぞれ求めよ。 ∠EDHの大きさを求めよ。 え 2 同じならば、 になってい (3) 12個の点を順に A1, A2, ......., A1と A As する。 As Asp 12点から3点を選ぶ方法は全部で12C3 通りある。 A10 A4 また,A, が鈍角三角形の1つの頂点で, All As ∠A が鋭角となる場合を考える。 A12 A2 AL A2, As, ......., As の5つの頂点から2つ の頂点を選ぶ場合と, As, A9, ....., A2の5つの頂点から2つの 頂点を選ぶ場合がある。 これをAから A12 までの頂点について考えると,同じものが2回 ずつ数えられる。 ◆図形の個数を考える場合, 図形の決まり方に注目する。 数学重要問題集 (文系) 61

①と②の独立の違いがよくわからないので、教えて下さい

出し方は全 2 期待値,分散の性質 ① 確率変数の独立 Nであるから 2つの確率変数X, Y があって, Xのとる値αと, Yのとる値6に対して P(X=a,Y=b)=P(X=α)P (Y=b) が, a,bのとり方に関係なく常に成り立つとき, 確率変数 X, Yは互いに独立で あるという。3つ以上の確率変数が互いに独立であることも同様に定義される。 ② 事象の独立 従属 . 2つの事象AとBが互いに独立 ⇔P(B)=P(B)⇔ PB(A)=P(A)⇔P(A∩B)=P(A)P(B) 2つの事象ABが独立でないとき, AとBは従属であるという。 補足 事象AとBが独立であることと, 対応する確率変数X と Yが独立であることは 同値である。

中2の式の計算です 最も小さい奇数を2n +1とした時連続する3つの奇数は2n＋3、2n＋5のようになぜ2ずつ大きくなるのでしょうか？教えて下さい

整数の性質の説明 p.30~32 き すう 1 連続する3つの奇数の和は3の倍数に なることを,文字を使って説明する。説明の 続きを書きなさい。 +3× (整数) の形で p.33 表される (説明)を整数として, 最も小さい奇数を 2n+1 とすると, 連続する3つの奇数は, 例 2n+1,2n+3, 2n+5 と表すことができる。 それらの和は, (2n+1) + (2n+3) + (2n+5) =6n+9 =3(2n+3) 2n+3 は整数だから, 3 (2n+3) は 3の倍数である。 したがって, 連続する3つの奇数 の和は3の倍数になる。 +y 772は、 連続する奇数は 2ずつ大きくなるよ。

(1)でyの値域を調べているのは何故ですか？ この値域と逆関数の定義域が一致することを確かめるためですか？それだけなら値域を書かなくてもいい気がします

重要 例題 158 逆関数と積分の等式 ex (1)f(x)= y=f(x)の逆関数y=g(x) を求めよ。 ex+1 (2)(1) f(x),g(x)に対し,次の等式が成り立つことを示せ。 00000 Sof(x)dx+S70g(x)dx=bf(b)-af(a) f(a) [東北大 ] /P.262 基本事項 1, 基本 10 指針 (1) 関数y=f(x)の逆関数を求めるには,y=f(x) をxについて解き, xとyを交換 する。 (p.25 基本例題 10 参照。) (2)(1)の結果を直接左辺に代入してもよいが,逆関数の性質 y=g(x)=x=g(y) を利用。 すなわち y=g(x)⇔x=f(y) に注目して, 置換積分法により,左辺の第 (f(b) 2項 Sing(x)dx を変形することを考える。 (1) y= ex+1 解答 ①から (ex+1)y=ex ゆえに ①の値域は 0<y < 1 (+) (1-y)ex=y xについて解く。 (1+x) (x)=(xx) ・②+y まず, 値域を調べておく。 ②から ex = 1-y y よって x=log ex=A⇔x=logA 1-y as (1) 求める逆関数は,xとy を入れ替えてg(x)=log XC 定義域は 0<x<1 1-x f (b) (2)ISg(x)dx とする。 YA f(b) T 1 f(x) は g(x) の逆関数であるから, y=g(x) より ゆえに x=f(y) f(a) 12 S また dx=f'(y)dy g(f(a))=a,g(f(b))=b 0 a b x (1 x f(a) →f(b) xとyの対応は右のようになる。 y a → b よって ゆえに 参考 (2) の結果は,f(x)= f(x) It is am v=fys (y)dy=[ys (3)]-fs(v)dy a =bf(b)-af(a)-Sof(x)dx Sof(x)dx+S70g(x)dx=bf(b)-af(a) ex 20306-10 15 ex+1でなくても,一般に, 関数f(x)の逆関数が存在して s=Sof(x)dx, TSg(x)dx (2) の等式の左辺の積分 は、上の図のように表さ れる。 (0<a<bのとき)

下の英文の解釈についてです。 日本語訳は、「子供に対する母親の愛、つまり完全に利他的な愛は、人が経験できる最も強い感情の一つである。そしてまたその愛情は、多くの母親が苦もなく自分の子供を愛する事ができるが故にいっそう、それほど強いものには見えないのである。」となっています。... 続きを読む

(54) 解答・解説 p.116 A mother's love for her child, love which is completely altruistic, is one of the strongest emotions one can experience, and all the more deceptive because of the ease with which many mothers are able to love their children.