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第1章 式と曲線
基礎問
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4 双曲線 (II)
双曲線 C:r-y=1 について, 次の問いに答えよ.
(1)Cの焦点の座標と漸近線の方程式を求め,グラフをかけ.
(2) C上の点P (p, g) における接線が 2つの漸近線と交わる点を Q,
R とするとき, Q R の座標をp, gで表せ.
(3)原点を0としたとき, △OQRの面積Sは,Pのとり方によらず
定であることを示せ.
(i) ① と y=x との交点は
px-qy=1
y=x
x=y=
p-q
(ii) ①とy=-xとの交点は
|px-qy=1
(p-g0 より) 注
より
x=-
y=-x
1
p+q
p+g
- (+40)
ゆえに, QRは
第1章
接する
P9)2922
(3)の結果は双曲線のもつきれいな性質の1つで、毎年どこかの大学
に出題されているといっても過言ではありません. 一般的には,次
のようになります。
双曲線=1(a>0,6>0) 上の点P (p, g)における接線と2本
の漸近線の交点を Q R とすると, △OQR の面積はPの座標によらず一
定で その値は abになる.
この基礎問ができた人は,上のことを証明してみましょう。 手順はまったく
同様です.また,演習問題4にあるように, PはQR の中点になることも知ら
れています。
しかしこういうことを丸覚えしても意味はありません. 誘導にしたがって
1段ずつ階段を昇っていけばよいのです。 その際, ハードルになるとすれば (3)
で,「どの面積公式を使えばよいのか?」 というところでしょう。頂点の1つが
原点というところがヒントになります。
注 p-g=0, p+g=0 は,P(b,g) が漸近線上にないことからでてく
る性質です.
(3) S=
= = = √(p-a) (p + q) + (pa) (p + q) |
(カー
-|-4|-1(一定) (p-q=1より)
<ポイント
ポイント △OAB の面積をSとすると
S=1/2√OAPIOBF-(OA・OB)
特に, A (x, y), B(I'z, y/2) のとき
S= 142-X2Y1
A
A(x₁, y₁)
B(2,y2)
x
注
IIB ベク 162 参照.
解答
(1) 焦点は (±√20)
演習問題 4
漸近線は±y=0
y=-x y y=x
すなわち y=±x
よって, グラフは右図.
(2) P(p, g) における接線は
px-gy=1 ・・・・・・①
2=1
ので
(1) 座標平面上の点P(x, y)とF(0, √5) との距離が,Pと直線
4
= 1/15 との距離の
√5
一倍に等しいとき,Pの軌跡は双曲線に
75 2
なることを示せ.
(2) (1)の双曲線上の任意の点P(p, q) における接線と, 漸近線との
交点を Q, R とするとき, Pは線分 QR の中点であることを示せ.
