る証明
00000
△ABCの重心をG, 外接円の中心を0とするとき, 次のことを示せ。
OA+B+C=OHである点をとると、Hは△ABCの重心である。
(2) (1)の点日に対して、3点O,G,Hは一直線上にあり GH-20C,
解答
[ 山梨大) 基本25 基本 71
(1) 三角形の重心とは、三角形の各頂点から対辺またはその延長に下ろした垂線の交
点である。
AH40, BC40, BH+0 CA+0 のとき
AHABC, BHICA AHBC=0, BI-CA=0······
であるから, 内積を利用して,人 ((内積)=0] を計算により示す。
◯は △ABCの外心であるから, 1000C| も利用。
CHART 線分の垂直 (内積)を利用
(1) ∠A=90°, ∠B=90° としてよ
い。このとき, 外心Oは辺BC,
CA上にはない。
①
|OH=QA+OB+OCから
MAHOH-OA OB+OC
ゆえに H・BC
(OB+OC) (OC-OB)
=|OCP-10B
同様にして
B
BH・CA=(OA+OC) (OA-OC)
=|OA|-|OCP=0|
また,① から AH=OB+OC=0, BH=OA+OC0
よって, AH = 0, BC ≠0, BH ≠0, CA≠0 であるから
AHLBC, BHICA
すなわち AH−BC, BHICA
したがって, 点Hは△ABCの垂心である。
635
直角三角形のときは
∠C=90° とする。
このとき, 外心は辺AB
上にある (辺 AB の中
点)。
BC=OC-OB(分割)
△ABCの外心0→
OA = OB=0C
(数学 A)
検討
外心, 重心, 垂心を通る
線 (この例題の直線
OGH) をオイラー線
いう。ただし、正三角
は除く。
ある。」
(2) OG=
OA+OB+OC
3
1OHから
OH=3OG
(1)から
3
OA+OB+OC=d
ゆえに
GH=OH-OG=2OG
よって, 3点0, G, Hは一直線上にあり GH=20G
練習 右の図のように, △ABCの外側に
P
③ 31
AP=AB, AQ=AC, ∠PAB= ∠QAC=90°
となるように, 2点P,Qをとる。
更に、四角形 AQRP が平行四辺形になるように点Rをと
ると, AR⊥BCであることを証明せよ。
B
