【Ⅱ型：微分積分（数2）】9月第3回全統記述高3模試

1906

赤城 (◕ᴗ◕🎀)

Senior HighAll

去年の
自学

2025.09.11 公開

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ノートテキスト

ページ1:

2024年度9月第3回全統記述高3模試 自学@Akagi
Ⅱ型
22 【II型共通 必須問題】 (配点 50点)
kを正の定数とする. 座標平面上に2つの放物線
C:y=kx2, C2:y=-x2+2x
があり, C,と C2 の原点以外の交点のx座標をαとする.
(1)kをαを用いて表せ. また, αのとり得る値の範囲を求めよ.
(2) C, と C2 で囲まれる部分の面積を S,とし, C2 と x軸で囲まれる部分の
うち, x≧aを満たす部分の面積を S2 とする.
(i) S, S2 をそれぞれαを用いて表せ.
6
(ii) S, = S2となるαがただ1つ存在し, それが1と
の間にあることを
示せ.

ページ2:

自学 @Akagi
C:y=kx2, C2:y=-x2+2x (k>0)
(1) 方程式 ㎢2 =-x2 + 2x を解くと
kx2 + x2-2x = 0
x{(k+1)x-2}=0
2
よって a= より k=2_1
k+1
a
2
x=0,
x=
(k≠ -1)
k +1
また,k>0だから2-1>
0
a
../>1
a
.. a<2
これとα=
2
k +1
>0より 0<a<2

ページ3:

(2)ちょっと変だけどお絵かきすると
S₁
0
a
2
i.C,≦C2に注意して0から4までと,aから2までの定積分をそれぞれ
計算すると
S₁ = √ {(-x² + 2x) - kx²)}dx S₁₂ = f (-x² +
= √" { - (k + 1)x² + 2x dx
=[-1/(k+Dx'+x]
1
3
2
Ja=1+1
3
2
===x-xa³ + a²
3 a
+2x)dx
+
BI
3
3
+4-(--a³ + a²)
4
2
-a³ − a² +
-
=
13

ページ4:

ii. S, = S2
6
→ S-S2 = 0 となるαがただ1つ存在して1との間にある?
3
ƒ (a) = S₁ − S₂ = ½³a³² − (³½³ a¹³ − a² ) +
とする。
S,-S2
8
2
-
ƒ'(a) = -a² + ³±³a = −a ( a −
{ a[a
3
³{})
4
1
=--a° +
4
3
+
3
3
3
3
8
0<a<2のとき -a < 0,
a--
<0 だから ① は正。
3
よって, 0<a<2の範囲ではf(a)は単調に増加する。
4
また,f(1) - < 0, f(
=
0
375
y
|6|5
a
②と③より,y=f(a)は1との間でα軸と1点で交わる。
6
5
6
したがって, S, = S2 となるαがただ1つ存在し, それは1と-の間にある。
これでいいのかな(・・?