ページ3:

ตัวอย่างที่ 39
จงหา (i + 2j + + k) × (3ì − j + 2k)
j
j
1
1
2
3 -1
2
3 -1
12
= ( 4 i + 3 j - k ) - ( 6k - i + 2j )
= si + j - 7
ขนาด
k
#
ทฤษฎีบท 1.12 ให้ น และ V เป็นเวกเตอร์ในระบบพิกัดฉากสามมิติ จะได้ว่า 1 x V เป็นเวกเตอร์ที่ตั้งฉากกับ นี้ และ
v และมีขนาดเป็น u xv = |uv|sine เมื่อ 6 เป็นมุมระหว่าง น และ V โดยที่ 0° ≤ 0 ≤ 180°
ถ้า u และ v เป็นเวกเตอร์ที่ไม่ขนานกัน จะได้ว่า u xv และ v x u เป็นเวกเตอร์ที่ตั้งฉากกับระนาบที่ผ่าน น และ V ซึ่งสามารถ
แสดงทิศทางของ u x V โดยใช้กฎมือขวา ดังรูปที่ 30 (ก) และรูปที่ 30 (ข)
X
น
ux v
(ก)
รูปที่ 30
V
(ข)
บทที่ 1 เวกเตอร์
51

ページ4:

ในทำนองเดียวกัน สามารถแสดงทิศทางของ v x นี้ โดยใช้กฎมือขวา ดังรูปที่ 31 (ก) และรูปที่ 31 (ข)
น
(ก)
V
v xu
รูปที่ 31
(ข)
15
ตัวอย่างที่ 40 กำหนด u = -i + j − k และ v = 21 + j + 3k จงหาเวกเตอร์ที่ตั้งฉากกับระนาบที่ผ่าน นี้ และ V
μ × v =
=
.. เวกเตอร์
-1
1
-|
( 3 Ĭ - 2j - K )-(-í- 3 j + 2k)
2 1
1 3
*
4i4j-3k
ฉากกับระนาบที่ผ่าน 4 และที่ คือ ! (43)
Mitosik,-4t-j+ak
กำหนด ū = i − 2j และ V = 1 + 3 + 2k จงหา sin 6 เมื่อ 8 เป็นขนาดมุมระหว่าง นี้ และ V
= | | | | sine จะได้ sin 8 =
ตัวอย่างที่ 41
จาก | x
u x v =
1 -2
=
0
i j k
luxv|
|||||
(-4ĭ + k ) − ( 2j − 2 k) = 41-2j+3K
1 1 2
:
Tŭ × √] = √(-4)² +(-2)³+ 3²
= 29
••• sin o = | uxv|
เนีย = √1+4+0 = √5
IVI
:
16184
=
เ
52
233231 พื้นฐานพีชคณิตนามธรรม
=
|นี|||
= √29
5.6
√29
√30
#

ページ5:

1. กำหนด น และ V ในแต่ละข้อ จงหา u x V และ V × น
(1) ū = 2i + 3k และ v = i + j − k
แบบฝึกหัดที่ 1.8 (ก)
uxv=
= (0] + 3 + 2k)-(3Ĭ-2j+ok)
= - 31 +5j+2*
VXC-CLA
31-5j-2k
(2) u = i + j + k และ v = j
3414jrk)-(K4145)
= 0.
(3) ū = -2j – k และ v = 3ì + 2j
-
ŭ xv = i j k i
-2-1
=(-3)-(-bk-21)
-3j+bk X
=
(4) u = 3ì – j – k และ v = i + 5j + 2k
u.x.V =
kij
v × ŭ = - ( μ x v.)
*
= (-21-1445ķ)-(-1k-5i+bj)
-
ű xů : i j k i j
-2-1.
0-2
-bk-12 i -3j)
-27+3j-bk
*
v x ů = i j kij
u
1
=l-si + bi-k) - (15k-2i-1j)
= - 3it 7j - 1b.k.
x
บทที่ 1 เวกเตอร์ -
53

ページ6:

54
2. กำหนดให้ u × v = 2i – 6j + 3k จงหา
(1) vxu
-2i+bj-3kx
(3) 3ux v
=bi - 18j1.9kx
(5) 3u × 2v
= 12i - 3bj ± 18.k
1 ×
-2
3. ถ้า
1
6 แล้ว จงหา m
m
4
3
(2) uxv-vxu|
(4) 2vxu
-
4i - 12jt bk
8i - 24j + 12k
(6) 4v × (-u)
4
(4-m) i + (-2M-4) j + 3 k
git bj + 3k
M = S
4. ให้ u = 21 − j + k และ V = - i + j − 2k จงหาเวกเตอร์สองเวกเตอร์ที่มีขนาดเท่ากับ u - V และมีทิศทางตั้งฉากกับ
ระนาบที่กำหนดด้วย นี้ และ
:
LUX VI
1941 : 11
VL
cũ
) :
1 = +52 =¨= i + s j + k)
เนีย
*
ū x v = ( 2 - 1) i - 1 - 4 + 1 ) j + (2 - 1) k
(2-Di-2-12k LŨ CŨ 45
:
i taj tk
i j k
-
5. จงหาเวกเตอร์หนึ่งหน่วยทั้งหมดซึ่งตั้งฉากกับทั้ง u = 8i + j + 4k และ v = 41 - 4 - 7k
u xv =
:
+
(-7 +7b)-(-56-16) + (-32 - 4) k
= 91 ± 72j - 3b k
= 9ci +8j-4k)
-
i j
6. จงหาค่าของ sin 6 เมื่อ 6 เป็นขนาดของมุมระหว่าง 1 = 31 – 2k
luxv=lullvlsin.o 1 g ŭ × v =
166 = (√5) (√12 ) sin o
sino-
166
5-12
Barcsin-bb
:
Juxvl=91+64-16
= 9√49
=9(7)
= 6.3.
±1 = ± 1
Jux vl
··.·.·U..x..V...).. ± 1 (9i+22j - 36k)
63
*
และ V = 21 + 3j - RI41-9-4 - 5 เ9-1
k
0 -2
-23 -1.
=
bi - (3+4)+(-9)k
-bi-7-9k
= - ( b i + 7 j + 9 k ).
:
√12
|:−√ 36 + 49+81
: - 166
233231 พื้นฐานพีชคณิตนามธรรม

ページ7:

Tulivisin e
การใช้เวกเตอร์ในการหาพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน
จากรูปที่ 32 ถ้า 8 เป็นมุมระหว่าง นี้ และ V และ
sin 6 เป็นส่วนสูงของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน จะได้ว่า Sin B
พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน = u|v|sine
|v|s
|
=
จะได้ว่า Sin -
1 x | ตารางหน่วย | : | | sine
|v|sine
X
0
พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน I = ความยาวฐาน × ส่วนสูง
ส่วนสูง = | sin @ ความยาวฐาน = ||
*
× ส
รูปที่ 32
ตัวอย่างที่ 42 จงหาพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน ABCD เมื่อ AB = 21 - j + k และ AD = − i + j − k
=
พท.ของรูป
AZ B
AB × AD =
2
ABCD = |AB AD
x
K+1-2j
=
= (i-j+2k) - Li-2j+k)
K
T-jak
มท.ของ
ABCD√2 18.96..
| AB × AD | = √0² + 1² + 1}
: J2
ตัวอย่างที่ 43 จงหาพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมที่มีจุดยอดอยู่ที่ A(-2, 3, 0), B(1, 1, -1) และ C(3, -1, 2)
A‹-2,3,0)
1
ง AB AC
X
AB = 3i - 2j - k
B(1,1,-1)
Ac = si - j + 2k
C (3,-1,2)
AB × Ac =
.. ABC = 1 | AB × AC |
3√21
2
:
7 j ki j
3 -2-1 3 -2
5-42 5-4
= ( - 4ī - 5j - 12 k ) - ( 4ī + 6j - 10K)
= - 8i - 11 - 2k
| AB × BC | = √√64 +72744
= √189
บทที่ 1 เวกเตอร์
= 3√21
55

ページ8:

การใช้เวกเตอร์ในการหาปริมาตรตของทรงสี่เหลี่ยมด้านขนาน COS 8 =
กำหนด นี้, v และ W เป็นด้านของทรงสี่เหลี่ยมด้านขนาน (parallelepiped)
ดังรูปที่ 33 ให้ h เป็นความยาวของเส้นตั้งฉากจากจุดสิ้นสุดของ นี้ มายัง
ระนาบที่กำหนดด้วย v และ w
ให้ 8 เป็นมุมระหว่าง นี้ และ v x W
จะได้ว่า h = ucose
และ IV × WI คือพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานที่เป็นฐาน
X
ปริมาตรของทรงสี่เหลี่ยมด้านขนานที่กำหนดด้วย u, y และ W เท่ากับ
|v × w|lu|cose
=
|(v × w) · u|
ตัวอย่างที่ 44
=
ค่าสัมบูรณ์
ใน 1 (V x W) (ปริมาตรของทรงสี่เหลี่ยมด้านขนาน
ต้องเป็นจำนวนจริงบวก)
ค่าสมบูรณ์
v X W
u/e
W
รูปที่ 33
ในการเลือกลำาดับของด้านประกอบของทรงสี่เหลี่ยมด้านขนานไม่มีผล
ต่อปริมาตรที่ได้ กล่าวคือ ปริมาตรของทรงสี่เหลี่ยมด้านขนานเท่ากับ
|u (vxw)| = |v (wxu)| = |w (uxv)|
จงหาปริมาตรของทรงสี่เหลี่ยมด้านขนาน ABCDEFGH โดยที่ AB = u = 1 + j - k,
AD = v = i + k และ AF = w = i – j + k
=
u. ( v × ñ ) =
1 1 -1
1 0 1 1
1-1 1
1
0
1 -
(1+1)-(-1+1)
: 2
← น. (VW): 2
ปริมาตรติดลบ
ไม่ได้
: 2
= =
→ h = lulcos 0
..ปริมาตร ABCDEFGH = 2 ลบ.น.
56
ให้ ū = a 1 + a,j + a,k, v = b,i + bj + bk
และ พี = c,ī + cj + c,k เราสามารถหา ū · (V x W)
ได้โดยใช้ดีเทอร์มิแนนต์ดังนี้
a, a a
นี · (V x W) = b, b, b,
C, C, Ca
233231 พื้นฐานพีชคณิตนามธรรม

ページ9:

ทฤษฎีบท 1.13 ให้ u, V และ W เป็นเวกเตอร์ในระบบพิกัดฉากสามมิติที่ไม่เป็นเวกเตอร์ศูนย์ จะได้ว่า u, v และ w
อยู่บนระนาบเดียวกัน ก็ต่อเมื่อ u (V x W) = 0
ตัวอย่างที่ 45
จงตรวจสอบว่า ū = i + 23 - k, v = 21 - 3 + k และ v = 5i + k อยู่บนระนาบเดียวกันหรือไม่
•
u · ( v × ŵ ) =
1 2
-1
1 2
2
1
2
0
1
S 0
=
9
Check Yourself 13
น.บี.พี อยู่บนระนาบเดียวกัน
ให้ u, V และ W เป็นเวกเตอร์ใด ๆ ในระบบพิกัดฉากสามมิติ จงพิจารณาว่าข้อความต่อไปนี้เป็นจริงหรือเท็จ
1. (u · v) · w เป็นสเกลาร์
2. (u + v)w เป็นสเกลาร์
3. (u x W) x W เป็นเวกเตอร์
X
X
4. (u + v) × w เป็นเวกเตอร์
.
5. u · (V x W) เป็นสเกลาร์
6. (u x vw เป็นเวกเตอร์
ปัญหาชวนคิด 4
เวกเตอร์ ดอท เวกเตอร์
ผลลัพธ์เป็นสเกลาร์
เวกเตอร์ ครอส เวกเตอร์
ผลลัพธ์เป็นเวกเตอร์
หินอ่อนประดับสวนก้อนหนึ่งถูกตัดแต่งเป็นทรงสี่เหลี่ยมด้านขนานที่มีฐานยาว 90 เซนติเมตร และกว้าง 60 เซนติเมตร
หน้าตัดด้านหน้าและด้านหลังตั้งฉากกับฐาน แต่หน้าตัดด้านซ้ายและด้านขวาทำมุม 30 องศากับแนวตั้ง โดยหน้าตัด
ด้านข้างแต่ละด้านยาว 80 เซนติเมตร และกว้าง 60 เซนติเมตร กำหนด น, V และ W เป็นเวกเตอร์ดังแสดงในรูปที่ 34
จงหา
1. u. (vxw)
2. ปริมาตรของหินอ่อนก้อนนี้ (ในหน่วยลูกบาศก์เซนติเมตร)
W
รูปที่ 34
บทที่ 1 เวกเตอร์
57

ページ10:

แบบฝึกหัดที่ 1.8 (ข)
=
1. จงหาพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน PORS เมื่อ PQ = 21 + j - k และ PS = 31 – 2 + 2k
พท.. =IPO × PS
Lik
x
i j
2.
=1. 2
L LPG = PS
-3-22-3 -2.
= (2₁ + 3j - 4 k) = (-3k t³Ïanj
sci.ji.....
2. จงหาพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมที่มีจุดยอดที่ A(0, 2, 2), B(8, 8, -2) และ C(9, 12, 6)
AB = (8 gb 94) AC = (9,10,4).
AB × AC) = √(64) ² + (-68)² + (26)²
x
JAB × AC | = | i j k|ij
:
8 b-48 b.
9...10................10.
(24 i - 3b j 180k) - (54 k-40 i-132j)
= b4i-b8j+ 2bk
= 1829
619.
..รูป..A..
……… 1 (1.8.J29)
2
=
9.29 ตร.น.
3. จงหาปริมาตรของทรงสี่เหลี่ยมด้านขนาน ABCDEFGH โดยที่ AB = u = 21 + 3j - 4k, AD = v = 1 - j + k และ
=
=
=
–
AF = w = i + j + 2k
+
ปริมาตร = lu - (V x
= (-4 + 3-4) - ( 4 + 2 + b).
= -5 - (12)..
= |- 17|
F 17 ลบ.น.
+
4. ถ้า u = 3i + j, v = ai + 2k และ w = -i − 3 + k อยู่บนระนาบเดียวกัน แล้ว จงหาค่า a
= u. (V x W).
อยู่ระนาบเดียวกัน = 0
ค
a
Q : 16 -0..
-3 1.
-3
a = 16.
: (-2)-(-18.t.a.).
= -2 + 18-a.
58
ค33231 พื้นฐานพีชคณิตนามธรรม