ページ3:

◎極限の
の条件か
数列の極限決定
次の条件を満たすΣan}に
11 7 lian
を求め
(1) Rio (2n+1)an=5
=
hair an
lin
= ?
um (2n+1) anx.
5x0
=
0
(2) liman+2
anを知りたい.....
→2n+1がジャマ
1
2n+1
☆条件を無理やり利用
= 5
3an-1
Point.
an+2
lnをおく
30-1
lin mo ln = 5
bu
an+2
30-1
<2> lan(san-1
<) 3auln-lan
=
ant
2
=
ant2
< an (3lm-1)=bn+2.
Bhu
An
0で割るのはNG
--
=
0 =
0 >
3kn
<=> An=
:: lin
'
0203 cha
F
a
き
+ 2
より 不適
0
lun +2 (3hu
3lan -1
100 An = lin hu+2
no8
1
344-1
5 + 2
3.5-1
「
2
lin lin=5

ページ4:

◎はさみうちの原理
au = Cnsun
↓
でも
一緒
↓
∞)
5
--> 5 -
5
(n
->
Q. lin coshT
438
?
n
-1 = cos
合
2
n
↓
Cosur
"
☆記述の
き
台
2
4-000
lin an = bin Cu li hu
8-98
↓
↓
0
0
0
18 I
みうち
の原理より
ein Cosaa
830
= 0
Aus
***
3,32,33,34,.など無限に続く
等比数列の
こと
⑥無限等比数列
(c) liv 3" =00
538
(2) lime (÷)"
n-000
なの で かける
2
2 lin
(金)
=
0
N
01
近づく
.
(3) bin (-1) " - ½. (-5)². (+)*, --(¯±)* --
振動
? ×
(2)と同様
< I
5
82
2
で
か ける と 0 に近づ
Co
liv
()
= 0
(4) (-3)"
-3, (-3)², (-3)', (-3)"....
最終的に
+ か
- か ら
振動す
る

ページ5:

Point
.
r > 1
r =
...
1300
lin pa
.
-10
r
2
{r"}
=∞
=
"
in pa
0
=
}
収票
振動
430
{r}に振動
-1
の
収束条件
収束
8
r
◎無限等比数列
の収束条件
数列{
4x
x2+4
が収束するための
父の値 範囲
の
と
そ
の と き の
極限を
求めよ。
4x
の収束条件
x+4
-1<
4x
x²+ 4
台/
- (x² + 4 ) < 4x & x²+4
)×(2244)
… (f)
…(エ)
(I) - (x²14) < 4x
<= x2+x+420
4(x+2)² 70
y
(2)4x≦x2+4
(二)
22-4x430
(=) (2-2)² 3 0
-2
2
スキーム
°
-2
0
2
0
-2>x
=
2
.
2
2 ≤ x
0
'
すべ ての
2
実数

ページ6:

◎無限等比数列
L =
lin pants
430
rentl
[よ]-cr
[1]
2
[r
[IVJ-1
2
11.
,
極限とグ
う ?
の グラ 7
かけ.
上は何者
?
⇒場合分
問題
I
""
13 0
F
P
y
2
r >
Q無限等比級数
y=r
Ź
無限等比数列の
項を足したもの
(1) 2 +
2
+
初項2
Su =
q
...
carc & a G.P.
221-(+)"}
1 - 5
lin Su
4300
=
lin 2{1-(§)"}
41900 1-3
2
=
1
(2)-5+5
-
5
+
①部分和 E ボ Sh d
②
分和の極限を求める
3
公比-1 07.5? 発散
point
公比
-1
→無限等比級数は発散
(3) 1000
+
+
...
公比 la G.P.
lin
4300
Sn =-lin
n
= 80
h00
1000
Point
att 31
⇒無限等比級数00発散
☆く無限等比級数の
0
+ < â te </
収東条件>
<無限等比級数の和>
-22cc </
2)
初項
| - 12 20

ページ7:

Qxaの極限
=
lax2+2x-3
→
22-1
lin (x-1)(x+3)
(x-1) (x+1)
linx+3
x-1
2+1
2
=
◎極限値の条件
lax2+ax+b
ス
x 2 - 1
普通に
Z に I を代入する と
になる
⇒不定
Point
分母と分子を因数分解
2
から関数の
係数決定
=
2
point
あえて不定形を作る
分母の に ( を代入
C た 30
分子 も。 Ta はず
1 +
a
+ h
b
=
=
- a -/
0
lix2+ax-a-/
=
ズート
=
12
hml)(x+atr)
→1
(x-1)(x+1)
linxeatl
21
....
at2
<=>
= 2
2
.: α = 2
h.
=
-3
r
x-> 18
の極限
lin
point
(x+zx)
スニーカとする
x1-∞
-8→-大
A = ∞
√2 = 121
⇒4000(1-2オンス)×(オース+)
x(12-27)
・
lin
-2A
2
bin
1-300 √1-4 +1
-2
-0 +1
-1
22+ax
-a-1
(x-1)+ax-a
(x-1)(xel)+a(x-1)
(x-1)(x+atl)
b=-a-1に
aを代入

ページ8:

Q置換
fi CI
+
い
h)=eを利用して次の極限を求める。
(1) bin (1)
20
(1) =
hとする
x- 00
(2) 1 (1-3x)
point
» h
-> 0
条件の酢に合わせる
大
D
lio (1 + h)
(+)-32=
R → O
Ź = h
=
hをする
⇒h→
x(-3)
e
Ans
{(1 + h)*} (-3)= et
Q 三角関数
の極限
...Aug
bio
x
lin fix
70-30
tnx
= 1
= /
スが同じだと1になる
ex.) 3x
=
✓
in finde
=
2x
Qhiki2
X-00
Si 3x
fir 3x
=
hin finze
22
る
270
x
x
Siv 3x
2x
32
ein Linza
Bx
x
ス
2x
× 2
3,C
/ 大 r f
@fin - cos2
200
x2
2
113
=
chi luot x
x
hin Lizz
270
x"
lin fine
2
x
*(1+0012)
x(1+604x)
ノ
tuye
fisz
x
x
J =
x I K
2
A
r
(-ay-x = Linzx
If cos x
point
和と差の積でバスを生み出す。

ページ9:

◎ガウス記号(x)
火を超え
"
最大の整数
ex.)
(2.7)=2
(a) = 3
(-1.5)
= -2
2.7 3
2
3
3:14
4
.
←
数直線を使うと分かりやす
CI
◎関数の片側か
の極限(右側極限・左側極器)
+
lin
1
X-71
x
7 = Ź
1-0
140
右側極限
lin
「
271702
2
左側極限
1
bin
I
= I
1-0 x
と
point
右側極限
I
=左側極限⇔極限が存在する
tim = = ?
270 20
lin I
8740
lin
J
R
(1
=
=
x
80
8-
point
右側極限キ左側極限(極限は存在しな
-1.5
0