ノートテキスト
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◎極限値収束 発散 振動 次の極限 を調べ る (+) 11 ½ ½ ½ ' ' ^. 続けて 2 何に なる? an=m → 1 "" r ' Love fre m どんどんに 近づいていく! an= ĥ limman an point = 0 収束 ○○(無限大):限りなく 大きい もの(数値×) (2) √3, 7, 1, 「 ". 初項 3 のA.P 公差 4 an=4-1 baso an 80 発散 (3) 1 -3 5 -7, " 初項-1 r のA.P. 公差-2 An = -2n+1 lisao an= (4) 1, -1 18 An = (-1) n- 振動する (iman = x) 発散 ···ぐ初 1 の G.P. <ù tt -1 ☺(1),(2),(3)は極限があるパタ (4)は極限がな " パタ ° Q 分数式 (1) lin (n³-3n) (2) lin 2-5 ☑ - 00 11888 n² + 3n 最終的に 45 x 1 3 に a おさまる か分か s of " (3) line 22-5 478 12+34 (4)li2n-5 1108 h² +34
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◎無限等比数列
L =
lin pants
430
rentl
[よ]-cr
[1]
2
[r
[IVJ-1
2
11.
,
極限とグ
う ?
の グラ 7
かけ.
上は何者
?
⇒場合分
問題
I
""
13 0
F
P
y
2
r >
Q無限等比級数
y=r
Ź
無限等比数列の
項を足したもの
(1) 2 +
2
+
初項2
Su =
q
...
carc & a G.P.
221-(+)"}
1 - 5
lin Su
4300
=
lin 2{1-(§)"}
41900 1-3
2
=
1
(2)-5+5
-
5
+
①部分和 E ボ Sh d
②
分和の極限を求める
3
公比-1 07.5? 発散
point
公比
-1
→無限等比級数は発散
(3) 1000
+
+
...
公比 la G.P.
lin
4300
Sn =-lin
n
= 80
h00
1000
Point
att 31
⇒無限等比級数00発散
☆く無限等比級数の
0
+ < â te </
収東条件>
<無限等比級数の和>
-22cc </
2)
初項
| - 12 20
ページ3:
Point
.
r > 1
r =
...
1300
lin pa
.
-10
r
2
{r"}
=∞
=
"
in pa
0
=
}
収票
振動
430
{r}に振動
-1
の
収束条件
収束
8
r
◎無限等比数列
の収束条件
数列{
4x
x2+4
が収束するための
父の値 範囲
の
と
そ
の と き の
極限を
求めよ。
4x
の収束条件
x+4
-1<
4x
x²+ 4
台/
- (x² + 4 ) < 4x & x²+4
)×(2244)
… (f)
…(エ)
(I) - (x²14) < 4x
<= x2+x+420
4(x+2)² 70
y
(2)4x≦x2+4
(二)
22-4x430
(=) (2-2)² 3 0
-2
2
スキーム
°
-2
0
2
0
-2>x
=
2
.
2
2 ≤ x
0
'
すべ ての
2
実数
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◎極限の の条件か 数列の極限決定 次の条件を満たすΣan}に 11 7 lian を求め (1) Rio (2n+1)an=5 = hair an lin = ? um (2n+1) anx. 5x0 = 0 (2) liman+2 anを知りたい..... →2n+1がジャマ 1 2n+1 ☆条件を無理やり利用 = 5 3an-1 Point. an+2 lnをおく 30-1 lin mo ln = 5 bu an+2 30-1 <2> lan(san-1 <) 3auln-lan = ant 2 = ant2 < an (3lm-1)=bn+2. Bhu An 0で割るのはNG -- = 0 = 0 > 3kn <=> An= :: lin ' 0203 cha F a き + 2 より 不適 0 lun +2 (3hu 3lan -1 100 An = lin hu+2 no8 1 344-1 5 + 2 3.5-1 「 2 lin lin=5
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point <不定形 4パターン> 8/8 . 0 0 18 - (無限大=数値×) 8 00x0 = to 18 = の ま ま計算できな " →変型 (1)最高次 の 項でくくり出す lino (no-3m) = lim n³ ( 1 - ) 2 ∞(1-0) ⇒正の無限大に発散 (*) : 分母の最高次 lin 2 - 4338 の 項で割る 1-0 P 2 0 1 + 2 cto (2),(3), 11-000 (2) lim 2n-5 12+34 lin 210 (3) bin 212-5 tum 2-4 • ***** 2 438 nesa (4) li 2n3-5 n²+34 4-08 ◎無理式 lin ' 13 438 laim an- 4-38 = 「 +0 8-0 = ∞ け l 有理化 分母に根号 5 888 natan-n - 有理化を疑う point <不定形解消法> ・有理化! lin 5 × 12-2472 438 2n -nx√n²-2n=n 13 2 lim 5Cyua tenth) 5138 (n²+24)-n² lim 5c2th) 4330 438 = 5 2m 2分母の最高 の項で割る 2 5/170 +1 2
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◎はさみうちの原理 au = Cnsun ↓ でも 一緒 ↓ ∞) 5 --> 5 - 5 (n -> Q. lin coshT 438 ? n -1 = cos 合 2 n ↓ Cosur " ☆記述の き 台 2 4-000 lin an = bin Cu li hu 8-98 ↓ ↓ 0 0 0 18 I みうち の原理より ein Cosaa 830 = 0 Aus *** 3,32,33,34,.など無限に続く 等比数列の こと ⑥無限等比数列 (c) liv 3" =00 538 (2) lime (÷)" n-000 なの で かける 2 2 lin (金) = 0 N 01 近づく . (3) bin (-1) " - ½. (-5)². (+)*, --(¯±)* -- 振動 ? × (2)と同様 < I 5 82 2 で か ける と 0 に近づ Co liv () = 0 (4) (-3)" -3, (-3)², (-3)', (-3)".... 最終的に + か - か ら 振動す る
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Qxaの極限 = lax2+2x-3 → 22-1 lin (x-1)(x+3) (x-1) (x+1) linx+3 x-1 2+1 2 = ◎極限値の条件 lax2+ax+b ス x 2 - 1 普通に Z に I を代入する と になる ⇒不定 Point 分母と分子を因数分解 2 から関数の 係数決定 = 2 point あえて不定形を作る 分母の に ( を代入 C た 30 分子 も。 Ta はず 1 + a + h b = = - a -/ 0 lix2+ax-a-/ = ズート = 12 hml)(x+atr) →1 (x-1)(x+1) linxeatl 21 .... at2 <=> = 2 2 .: α = 2 h. = -3 r x-> 18 の極限 lin point (x+zx) スニーカとする x1-∞ -8→-大 A = ∞ √2 = 121 ⇒4000(1-2オンス)×(オース+) x(12-27) ・ lin -2A 2 bin 1-300 √1-4 +1 -2 -0 +1 -1 22+ax -a-1 (x-1)+ax-a (x-1)(xel)+a(x-1) (x-1)(x+atl) b=-a-1に aを代入
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Q置換
fi CI
+
い
h)=eを利用して次の極限を求める。
(1) bin (1)
20
(1) =
hとする
x- 00
(2) 1 (1-3x)
point
» h
-> 0
条件の酢に合わせる
大
D
lio (1 + h)
(+)-32=
R → O
Ź = h
=
hをする
⇒h→
x(-3)
e
Ans
{(1 + h)*} (-3)= et
Q 三角関数
の極限
...Aug
bio
x
lin fix
70-30
tnx
= 1
= /
スが同じだと1になる
ex.) 3x
=
✓
in finde
=
2x
Qhiki2
X-00
Si 3x
fir 3x
=
hin finze
22
る
270
x
x
Siv 3x
2x
32
ein Linza
Bx
x
ス
2x
× 2
3,C
/ 大 r f
@fin - cos2
200
x2
2
113
=
chi luot x
x
hin Lizz
270
x"
lin fine
2
x
*(1+0012)
x(1+604x)
ノ
tuye
fisz
x
x
J =
x I K
2
A
r
(-ay-x = Linzx
If cos x
point
和と差の積でバスを生み出す。
ページ9:
◎ガウス記号(x) 火を超え " 最大の整数 ex.) (2.7)=2 (a) = 3 (-1.5) = -2 2.7 3 2 3 3:14 4 . ← 数直線を使うと分かりやす CI ◎関数の片側か の極限(右側極限・左側極器) + lin 1 X-71 x 7 = Ź 1-0 140 右側極限 lin 「 271702 2 左側極限 1 bin I = I 1-0 x と point 右側極限 I =左側極限⇔極限が存在する tim = = ? 270 20 lin I 8740 lin J R (1 = = x 80 8- point 右側極限キ左側極限(極限は存在しな -1.5 0
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