Ⅲ型ベクトル【高3】2025年5月第1回全統記述模試

赤城 (◕ᴗ◕🎀)

Senior High3

▷ 過去問自学

2026.05.06 公開

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ノートテキスト

ページ1:

3 【Ⅲ型 必須問題】(配点 40点)
三角形 OAB があり, 重心をGとする. また, pを正の実数
として,
(3p-2) PO-2pPA-pPB= 0
を満たす点 P をとる。 a=OA, OBとするとき,次の間に
=
答えよ。
(1) OG, OP を a, b を用いて表せ.
(2)直線 OP と直線AB の交点をCとするとき, OCをa.
を用いて表せ. また, OP: OC と AC: CB を求めよ.
(3)g を正の実数として, OQ=qOBを満たす点 Q をとり,3
点 P, G, Q が一直線上にあるときを考える.
(i)
qをpを用いて表せ.
(ii)
三角形 OAB の面積をS,三角形 OPQ の面積をT
とするとき, S:T = 27:8となるようなp, q の組 (p,q)
を求めよ.

ページ2:

2025 年度 第1回全統記述高3模試 @自学 Akagi
3 ベクトル
00+OA+ OB
(1)
OG
3
1
|=
a+
1
3
► (3p-2)PO-2pPA - PPB = 0
→>
-b
3
始点を0で統一
(3p-2)(-OP)-2p(OA - OP) - p(OB-OP) = 0
.. 20P = 2pOA + POB
→>
1
.. OP = pa+pb
2

ページ3:

共線条件
・①
(2)3点 0, C, P は一直線上にあるから
OC = kOP = kpa +=kpb
2
点 Cは直線AB上の点だから
a+
1
.b
A ①
kp +
-kp
= 1
2
係数和1
2
∴.k =
の法則
3p
これを①に代入して
OC
=
2|3
Oc=
2
OP
=
OP
.OP より
=
3p
OC
2
3
0
P
► OC
=
3
→>>
a+
1
3
→
-b =
3p
だから
OP: OC=3p:2圏
2a +1b
1+2
より, AC: CB = 1:2 圈
内分点の位置
ベクトルの公式
B

ページ4:

(3) (i)
(1)より
1
OG
a+
=
-b
②
0
3
3
また, G は PQ を 1:(1-s) に内分する点
1-s
G
とすると
A
B
S
=
OG (1 s)OP + SOQ
= (1− s) (pā + 1/
→>
= (1-s) pa+pb|+sqb
= (1 − s) pa +
2
(1 − s) p + sqb
(3
2
P
aとbは一次独立だから, ②と③の係数を見くらべて
1
(l-s) p = ½ ½ (l-s)p + sq =
,
3 2
3p-1
S =
より g
=
3p
1
3p
1
3
3 3p-1-2 (1-3P-1).p
P P
1
3p-1 2 3p
p
2(3p-1)

ページ5:

(3) (ii)
▸ AOPQ=T
3
○OCOP=1:12p より
AOCQ=
2 T
3p
9
1
0
|1
3|2|
p
B
2
A
T
1
C
2
→ OQOB =q:1 £})
AOCB
1
--
q
AOCQ
→
=
3pq
AC:CB = 1:2 より
AOAB = S
3
=-
2
AOCB
32
P
T
S-72
=
=
=
=
1
•
2 3pq
pq
pq
=
T
1 2(3p-1) 6p-2
p
6p-2
-
2
p²
2
p
p²
.. 27 p² − 48p +16 = 0
.. (3p-4)(9p-4) = 0
pq
よって
T
ST
27
より
8
4
3
4-9
2
→>
9
2-3
4 2
したがって (p,q) =
(.
,
3'
OIN
4
.), (.
9 3
ała
=
8
27
より
答