物理が得意になる物理の見方【基礎物理講座1】
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物理が苦手な方や初学の方がスムーズに物理を理解するための徹底言語化。 物浪(X:@_I_love_physics)
ノートテキスト
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基礎物理講座 1 「苦労して得た力は真の力となる。」 この物理講義は、 言語化されにくい理解の土 台、考え方を説明するため、 決して簡潔ではあ りません。 しかし、さまざまな寄り道をして、 読み進めるうちに、その本質のシンプルさに気 づくでしょう。 初学者にとって、物理のハード ルは決して低くはないですが、 必ず理解できる と信じて、進んでください。 (論説文が読みにくいと感じる人は実際多い でしょう。これは、同じ単語も、 日常会話と論 理的文章では、意味が多少異なり、 その前提と されている文脈の知識不足が原因です。 しか し、そのような表現は、 学び進めていくこと で、「わかりやすい(論理的で、筆者の意見を十 分正確に伝える抽象的な) 表現」となっていく ものです。) ☆ 物理の基本姿勢 1、 「わかるところ」 から。 2、現実を「十分に説明」 できているのか。 物理は、観察を通して、 モデルを 「わかると ころ」から構成します。 モデルは、数式で表現 し、現実を十分に説明できることを目指しま す。 現実世界はまだまだわからないことだらけ。 「わかるところ」 から考えていくのは自然科学 として自然なことでしょう。 物理は、単純なモ デルから考えていき、実験を通して、 現実を十 分に説明できるまで、構成していきます。 抽象 的なモデルは、 分かった気になりがちですが、 非常に強力です。 侮らずに理解していきましょ う。 また、わかっていること(単純なモデ ル)を理解することは、 わからないことを学ぶ ことでもあります。 教科書は、今説明できない ことを上手く隠す癖がありますが、 文責 物浪 @_I_love_physics それは、かえって私たちの理解を曇らせます。 背理的な見方も時には重要でしょう。 「十分な説明」は、 事象を見つめる観測者と その目的によって決まり、物理において「正し い」と判断できる説明 (モデル、 理想世界の定 義)です。 例えば、地球表面上の運動において、 「地球 は平面である」 と抽象化し、 *近似されます (モデル化)。これは、地球表面で運動を考え る時に(観測者にとって)、この説明でも、目的 に対して何ら支障がないからです。 (例えば運動 軌道の予測でしょう。) つまり、現実を説明する理想世界において は、地球は平面であることは 「正しい」 ことで す。 (*物理において、 「近似」 は、 不正確と いう意味ではありません。 「正しい」という意 味です。 近似とは 「≠」というより「=」なの です。) しかし、だからと言って、 「実際に地球が平 面であること」を表しているわけではありませ ん。それは、この近似(正しさ)の適応範囲を超 えている観測者 (文脈、 前提) から捉えている からです。理論 (正しさ)には、 その境界条件(適 応範囲)が存在し、見ている世界(観測者)や目的 が変われば、その理論を適応できるかどうかは 自明ではないのです。 注)「正しい」と判断することは、 人間が数学 的処理に馴染みやすいように、抽象化 (理想化) する行為であり、 多少の勝手さを孕む。 注)運動方程式などの原理 (物理現象から法則 を帰納し、 統一的に説明できる理論) も同様で す。 しかし、その原理の正当性については、こ の時点では議論しません。 「わかるところか ら」という姿勢は、 まず自然科学において発見 された原理を、 とりあえず受け入れ、 1
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基礎物理講座1 仮定する (正しいとする)ところから始ま る。しかし、無反省に受け入れるわけではあ りません。 この仮定 (正しいとした)世界に ついての理解をまず、 深めてからでなければ、 反論や、 より先の議論に進めないということ です。まずは「わかるところ」から。 ま た、その成立する範囲 (境界条件)について は、実験を通して、照らし合わせ、十分に説明 できているかを確認していくのです。 「記号」 記号は、図や数式などで、 言葉のようなも のです。人間は「記号」の視覚的な情報か ら、一定の文脈と知識 (理解)に基づいて、 意味を感知し、読み取ります(解釈)。物理 は数式によって記述される。 つまり、正しく 理解するためには、一定の共通認識(文脈、 前提)と数式への理解が必要なのです。 しかし、記号の持つ意味を全て取り出せて いるかはわからないし、難しい問題だ。 例)x2 + 2x + y2 =4 が円の方程式である 感知(特定)できるためには、xy平面上で 考えるという前提、 円の方程式の形の知識な どが求められる。 記号として抽象的に表現さ れている為、文脈が違えば、 同じ式でも異な る意味を持つかもしれない。 = 注)同値(数学的に意味が同じ)であって も、式の形そのものにも、意味の違いは存在 します。 例えば、 ma = F と 0=F-ma 式は数学としての文脈で、 同値ですが、 物理的 には全く別の現象を表現します。左は運動方 程式(観測者は静止系)、 右は釣り合いの式(観 測者はaで加速度運動) と普通解釈します。 文責 物浪 @_I_love_physics 注)視覚的情報によって、同値でも、 視覚的に 得られやすい情報に差があります。 x 2 + 2x + y2 = 4この式は円の方程式であるこ とが視覚的にわかりますが、 (x + 1)2 + y2 = 5 とすれば中心(-1,0)半径√5の円であることが よりわかりやすいです。 今回の場合初めの状態 でも情報を取り出せるとは思いますが、「わか りやすい形」に変形することも、意味を「特 定」していく際に、重要な操作になります。 ・表現するための数学 物理は、現実という記号を数学という記号で 記述していく学問ともいえます。 そして数学 (数式)は、人間が論理的に思考するための抽 象的な「わかりやすい」 記号です。 しかし、 物 理が苦手な人は、記号そのものの処理や形に囚 われて、焦点を失ってしまうようです。 あくま でも、「表現するためのツール」でしかありま せん。根底となる 「表現したいイメージ」 をま ず掴みましょう。 また、数式で表現していく上で、入試物理で も数IIIまでの数学は必須です。 高等学校の物理 の教科書は、数III を履修しない学習者に考慮し て、数IIBレベルまでの数式で表現されていま す。しかし、これは使わないで表現しているだ けに過ぎず、内容として不必要であるわけでは ありません。 入試問題も、学習要領に則って、 微積を避けた表示で誘導を作るので、 その対応 関係についても解説します。 注)微積を用いる物理を 「微積物理」 と呼ぶ人 がいるようですが、 高校物理は微積分の考えを そもそも含んでいます。 あまり使いたくない表 現です。また、 教科書が微積分を用いず表現し ているという事実から、 微積分を使ってはいけ ないという主張は飛躍しているでしょう。 2
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基礎物理講座1 ベクトル基本イメージ AB=B(相手)-A(自分) B 文責 物浪 @_I_love_physics 注)ベクトルは二つの量という意味で、 符号付 きの量もベクトル量なのですが、 ここでは、 数 学的処理のために勝手に大きさに符号をつけ て、拡張しているに過ぎない。 なので、 物理量 のスカラー量との変な混同を避けるために、 「符号付きの~」 という言い方を残しておく。 ベクトルは「大きさ」と「向き」によって、 始点と終点の位置関係を記述します。 ☆ また、定量的に表現するためは、位置、単位 量、向き等の 「基準」 が必要です。 ベクトルは 始点、座標は原点といった基準の置き方や、形 が違うに過ぎず、 本質的には二つは同じで位置 を相対的に表現します。 (平面の直交座標は、 直交する二つのベクトルの一次独立で表現でき ますね。)ベクトル (座標)は位置を一意に表 現するツールなのです。 変化量も同様な考え方ができます。 △ 変化量=B(あと)-A(まえ) = (符号付きの増加量) =-(符号付きの減少量) 例)変位 △x、エンタルピー変化量、 通過電荷 △Q･・・ 注)符号付きの量 上のように「符号付き」と付けることで、数 学的な拡張(抽象化) を行なっています。 増加量=(大きい方)-(小さい方)=|変化量| 39ならば、 9-3=6でしょう。 ここでの6は 大きさ(スカラー量)です。 これに対して、 3 0 の減少量3-0=3を、 符 未知な符号付きの量(ベクトル量)の扱い 正の方向に固定 (仮定) して扱い、 大きさに符号を付けて処理する 微積分の基本イメージ 「刻々と変化する量をどう記述するか」とい う物理的に自然な発想から、ニュートン *は、 変化していく量を非常に細かく分ければ、 直線 に近似(わかる形に)できるという考え(流率 法)に辿り着きます。 これが、 微分の考えの根 底になります。 その微小量(直線近似が正しいと判断される 量)がどのぐらいの大きさかは、観測者と目的 によりますが、 数学上の表記として、微小量 は、極限を0に飛ばすように書かれます。 *同時期にライプニッツによっても考案されて います。 (詳しくは割愛) 定積分は、 微小の量を足していけば全体量 (面積)を求められるのではという考え方で す。 積分と微分が表裏一体であることに気づい たのもニュートンだそう。 号付きの増加量0-3=-3とします。 大きさに符号をつけることで、統一的に扱うこ とができ、数学的処理に馴染みます。 3 dt dx これは直線だ!!
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基礎物理講座1 ライプニッツ記法 (通常の微積分の表記) 数学III で具体的なことは扱うと思うので、物 理での対応のみ確認していく。 デルタ △ : 変化量 △ →d (△→0) 無限に小さい変化量 ( 微小量) 教科書では「ただし△は非常に小さい(微小 量)である」と但し書きをすることで、ライプ ニッツ記法を避けています。 Ax 例) 瞬間の速度v(t): = (ただし、 △fは非常に小さい) At △x = (At → 0) At dx dt *x(t) = Σv(t)At (At → 0) t=0 ='v v(t)dt 微小量の計算のルール 文責 物浪 @_I_love_physics 1、和差では高次の微小量を無視する。 化学の近似も和差が基本でしょう。 dx + dx2~dx x + dxx 注) dx2 は (dx)2 のことである 「二次以上の微小量は無視する」という設定は よく見ます。 2、同じ次数の微小量の比には意味があるので 残す。この形は数学でもよく見る形だろう。 注 *) 有効数字の観点からも説明する。 有効数字は、観測者の測定能力の限界を示す 「信頼できる範囲」の数字です。 有効数字の最後の一桁は、その境界であり、誤 差が含まれます。 誤差を含む、一次の微小量ALがあるとする。 それに対して二次の微小量(AL)2はさらに小さ くなある。これはまた、 有効数字の範囲外とな ります。この量は、十分な説明をする上で、 数 値として意味をなさない。 これを無視すること (近似)は「正しい」ことある。 dx 他にもニュートン記法 x = ラグラン dt dx ジュ記法 x' = ーが存在します。 何で微分して dt いるのかが分かりにくいが、 時間微分が基本な ので、ニュートン記法で表現することが多い。 4 120 90 60 30 0 100に対して1は無視しても 「正しい」! 100 101
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基礎物理講座1 一次近似(直線近似) よく使う一次近似 文責 物浪 @_I_love_physics 微分の考え方の根底であり、 高校物理の近似 では最も多く使われます。 sin0~0 (|0|≪1) sin" (0) sin' (0) 実数xに十分近い実数aに対して sin (0+0) = sin(0) + sin'(0) + -02+ 2! 3! f(x)=f(a) +f'(a)(x-a) ⇒f'(a)~ f(x)-f(a) x-a 0 -1 = 0 + (1)0 + -02+ -03 +... 2! 3! ≈0 △f = f(x) -f (a) (1 + Ax)" ~ n△x (1≫Ax) 03+... ( f'(a) = lim x-a Ax=x-a f(x)-f(a) x-a 「わかるところ」 から見ていく物理にとって、 扱いづらい関数を * 多項式に翻訳できることは 大変有効なことで、直線近似は最も基礎です。 しかし、 近似は実際、 実験を通して、「十分な 「説明」となるまで精度を高めていきます。 f(1 + Ax) =f(1) +f'(1)Ax + f"(1) 2! (1 + Ax)" = 1" + n(1)"- 'Ax + ~1+n△x -(Ax)² + ... n(n-1) (1)-2(Ax)2+. 2! △(fg) = (f + Af) (g + Ag) - fg Afg+f Ag ~ ((fg)' = f'g +fg') * テイラー展開 f(x) =f(a)+f'(a)(x - a) + f"(a) 2! -(x-a)2+.. ( f(x) = Σ f(m) (a)(x-a)") n! n=0 f"(a) 2! f(x + △x) =f(x) +f'(x)△x + -(Ax)² + . 注)二次以上の微小量を無視することは、一次 一言)物理や数学において、 式変形は自分の手 で操作し、 身体で覚えよう。 数式こそが、 分か りやすい記号であり、理解は自然とついてくる ものだ。 近似することなのです。 f" (a) f(x)-f(a) =f'(a)(x - a) + -(x − a)² + ... 2! df dx f(x)-f(a) = -(x - -a)+ -(x − a)² + ... dx 2! df df df dx f(x)-f(a)~ -(x a) ( (a=0 のものをマクローリン展開という。) >>> ( dx dx LO 5
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基礎物理講座1 古典物理学 物理は古典物理学と20世紀以降現れた量子 力学と相対論によって構成されます。 まずは、 人間の目に見える、巨視的 (マクロ) な世界を 扱う古典物理学から見ていきます。 力学と電磁 気学 (光学)、 熱力学によってなり、 物質的物 体(質量と電荷、 幾何学的形状を持つ)、場 (重力場、電場、 磁場) の二つの 「実体」 を説 明するものです。 物質的物体は質点・剛体・弾性体等の数学的 処理に馴染む、抽象化した概念で扱います。 質点: 位置のみを持ち、 大きさはない 剛体:大きさはあるが、 変形しない 弾性体力を加えると、 変形するが力を除く と元に戻る 厳密に対応物はありませんが、 「十分に説 明」できれば 「正しい」 のです。 補足) 「場」とは、物理では中心的な概念だ が、まだ深くわかる段階ではないのでイメージ だけを軽く掴んでいきましょう。 まずは、 少し 歴史をのぞいてみます。 当時、 「重力といった 何も存在しない空間を隔てて、 なぜ力が一瞬で 伝わるか」という疑問がありました。 とりあえ ず、 「遠隔作用」といった、 「なぜかわからな いが、瞬時に力が働くもの」 として扱われてい ました。 しかし、 ファラデーは磁石の周りにで きる砂鉄の模様から、 「何もない空間に目に見 えない線や力が実際に満ちているのでは」と直 感します。(←異常な直感) これが、場の概念 の誕生です。当時は数学的ではないと反論され ていましたが、マクスウェルによって数式で表 現されます。マクスウェルの計算から、場が変 化すると波として空間を伝わり、 それは光の速 度に一致することが判明し、 光とは電磁場が波 打って進む現象であることが判明しました。 文責 物浪 @_I_love_physics これより、物体がなくても、 空間自体がエネル ギーを持って振動していることが示されたので す。質量は周りの空間に重力場をうみ、重力場 から力を受けます。 電荷は周りの空間に電場と 磁場をうみ、また力を受けます。 場とは、 空間 が力を媒介し、エネルギーを蓄える状態で、物 質によって生まれて、物質に作用する空間の物 理的性質なのです。 (ピンとこなくても良い) (伝わるのに時間差があること、波として自立 して進むこと、 物体とエネルギーのやりとりを することから、 実体として扱われます。 知覚で きないから虚構というわけではありませんよ、 ある一定の理論的手続きによって示されている のです。) 「エネルギー」 わかるところから、少し覗いてみよう。 高校 一年生の時、 エネルギーってなんだと、 私も検 索をしたことがある。 ネットでは「ラグランジ アンが時間並進の影響を受けない時に保存され る量」なんて言葉を見かけるだろう。 さっぱり わからなかった。 私たちは、 概念を全て、 直接 捉えられると勘違いしている。 そもそも、 物理 学において、エネルギーの直接的意味は必要な いとさえ思う。つまるところ、物質と場による 世界全体に対して、仕事を生み出す能力である エネルギーが保存でき、 保存する量としてそれ ぞれ定義されているのだ。 なぜエネルギーは保 存されるのかではない、 保存されるように定義 されているに過ぎない。 「自然科学における数 学の不合理なまでの有効さ (ヴィグナー)」と いう言葉があるが、これから、つくづく痛感さ せられるだろう。 エネルギーのそれぞれの定義 についてはまた見ていこう。 より段階が進め ば、踏み込んだ理解ができるだろう。 楽しく なってきただろう。 6
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