(20)代入して適当にやればできますが、けっこうきついですね、これ…。もしかしたらもっといいやり方があるのかもしれません。
①代入して差をとり、
8sin³θ-12sin²θ+sinθ+a=0
-) 8cos³θ-12cos²θ+cosθ+a=0
8(sin³θ-cos³θ)-12(sin²θ-cos²θ)+sinθ-cosθ=0
ここで、
sin³θ-cos³θ
=(sinθ-cosθ)(sin²θ+sinθcosθ+cos²θ)
=(sinθ-cosθ)(1+sinθcosθ)と
sin²θ-cos²θ=(sinθ-cosθ)(sinθ+cosθ)より
(sinθ-cosθ){8(1+sinθcosθ)-12(sinθ+cosθ)+1}=0
sinθ≠cosθより両辺(sinθ-cosθ)でわって
8(1+sinθcosθ)-12(sinθ+cosθ)+1=0
8sinθcosθ-12(sinθ+cosθ)+9=0
ここでsinθ+cosθ=tとおくと
t=sinθ+cosθ=√2sin(θ+π/4)より
-√2≦t≦√2
また、
t²=sin²θ+2sinθcosθ+cos²θ
=1+2sinθcosθ
2sinθcosθ=t²-1となるから
8sinθcosθ-12(sinθ+cosθ)+9=0
4(t²-1)-12t+9=0
4t²-12t+5=0
(2t-5)(2t-1)=0
t=1/2 (∵-√2≦t≦√2)
よってsinθ+cosθ=1/2
sinθcosθ=(t²-1)/2=(1/4-1)/2=-3/8
②和
8sin³θ-12sin²θ+sinθ+a=0
+) 8cos³θ-12cos²θ+cosθ+a=0
8(sin³θ+cos³θ)-12(sin²θ+cos²θ)+sinθ+cosθ+2a=0
8(sinθ+cosθ)(1-sinθcosθ)-12+sinθ+cosθ+2a=0
8(1/2)(1+3/8)-12+1/2+2a=0
2a=-11/2-1/2+12
a=3
sinθ, cosθを2解にもつ2次方程式は
x²-x/2-3/8=0だから、与式の左辺は
x²-x/2-3/8を因数にもつ。よって
(x²-x/2-3/8)(8x-8)=0となり
(x-1)(8x²-4x-3)=0
解は
x=1, (1±√7)/4
ありがとうございます！！
たしかに難しいですね……。頑張ってみます……