（1）を教えてください。

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almost 6 yearsago

f(t)をpと書いているので混乱したのかもしれません[京大志望なら特に注意しよう].
S(t)はtの関数なので, 定数のpではなくtで変動するf(t)として考えなくてはいけません.
***
関数f(x)の導関数f'(x)が区間[a, b]で常に正ならば, f(x)はこの区間で単調増加するといえる.
すなわちa<x<tでf(a)<f(x)<f(t)=p, t<x<bでp=f(t)<f(x)<f(b)であることがいえる.
関数f(x)の原始関数をF(x)と表すことにすると,
S(t)=∫[a->t]{f(t)-f(x)}dx+∫[t->b]{f(x)-f(t)}dx
={f(t)(t-a)-f(t)(b-t)}-{F(t)-F(a)}+{F(b)-F(t)}
=f(t)(2t-a-b)-2F(t)+F(a)+F(b)[定積分は定数であることに注意しよう]
この関数はtで微分することが出来て,
dS(t)/dt=f'(t)(2t-a-b)+2f(t)-2f(t)=f'(t)(2t-a-b) [ここは積の微分法です]
f'(t)>0なので, a<t<(a+b)/2のときdS(t)/dt<0[単調減少], (a+b)/2<t<bのときdS(t)/dt>0[単調増加]がいえる.
すなわちt=(a+b)/2のとき, S(t)は最小になる.

LUX SIT almost 6 yearsago

[おまけ]
(2)(1)よりt=(a+b)/2=(1+3)/2=2のとき, S(t)は最小になる.
部分積分から∫logxdx=xlogx-x+C, 但しCは積分定数, であることに注意すると
S(2)=∫[1->2](log2-logx)dx+∫[2->3](logx-log2)dx
=log2(2-1)-log2(3-2)-[xlogx-x]|[1->2]+[xlogx-x]|[2->3]
=(3log3-3)-(2log2-2)-(2log2-2)+1
=3log3-4log2.
***
[研究] 2つの面積が等しくなる場合[よくある類題]
∫[a->t]{f(t)-f(x)}dx=∫[t->b]{f(x)-f(t)}dx
⇔∫[a->b]{f(t)-f(x)}dx=0
⇔f(t)(b-a)=∫[a->b]f(x)dx
⇔f(t)={1/(b-a)}∫[a->b]f(x)dx
⇔p={1/(b-a)}∫[a->b]f(x)dx.
***
f(x)=x^2, a=0, b=3のとき, p=(1/3)∫[0->3]x^2dx=3
∫[0->√3](3-x^2)dx=2√3. ∫[√3->3](x^2-3)dx=2√3.
で確かに等しくなっています.