方針としては第k項の一般項を求めて,それを1からnまでシグマするといった方向になります。
第k項は1/(1＋2＋..＋k)＝2/k(k＋1)
よって,和は
Σ(k＝1→n)2/k(k＋1)＝2{(1−(1/2))＋((1/2)−(1/3))＋...
＋((1/n)−(1/n＋1))＝2{(1−(1/n＋1)}＝2n/(n＋1)
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シグマを求める際に利用してるのは部分分数分解になります。