✨ Best Answer ✨
(1)は解き方というより知識ですかね。
(cosθ,sinθ)って点はよく見ると実はよく見かける点ですよね。単位円上の点です。(cos2θ,-sin2θ)も同じく単位円上に存在します。x²+y²=1という方程式を満たしますよね。これをもっとちゃんと考えるとしたら、中心をC(a,b),半径をrとすると、円の方程式は
(x-a)²+(y-b)²=r²
2点を代入すると、
(cosθ-a)²+(sinθ-b)²=r²
(cos2θ-a)²+(-sin2θ-b)²=r²
それぞれ整理すると、
1-2(acosθ+bsinθ)+a²+b²=r²
1-2(acos2θ-bsin2θ)+a²+b²=r²
差をとると、
-2{a(cosθ-cos2θ)+b(sinθ+sin2θ)}=0
これがθによらず常に成り立つためにはa=b=0でなければならない。このとき、
1=r², r=1 (r>0)より
中心(0,0),半径1とわかる。
まあ、こんなことやらんでもいいんですけど。
(2)も単位円で考えられると楽ですね。
点が一致するってことは動径が一致すればいいので。
三角関数の性質から、
(cos2θ,-sin2θ)=(cos(-2θ),sin(-2θ))
とできるので、
θ'=-2θ
とでもおくと、
θ,θ'の動径が一致すればいいですよね。このとき、
θ=θ'+2nπ
という関係になるので、
θ=-2θ+2nπ
3θ=2nπ
θ=n(2π/3)
0<θ<2πより
0<(2π/3)n<2π
0<n<3
n=1,2
θ=2π/3,4π/3
となりますね。
これもまた、真面目にやると、
(cosθ,sinθ)=(cos2θ,-sin2θ)より
{cosθ=cos2θ
{sinθ=-sin2θ
cos2θ=2cos²θ-1, sin2θ=2sinθcosθより
{cosθ=2cos²θ-1
{sinθ=-2sinθcosθ
それぞれ解くと
(2cosθ+1)(cosθ-1)=0
cosθ=-1/2,1
θ=2π/3,4π/3,(0,2πは範囲外)
sinθ(2cosθ+1)=0
sinθ=0,cosθ=-1/2
θ=2π/3,4π/3,(0,2πは範囲外)
共通するのは2π/3,4π/3なので、これが答え。
ありがとうございます🙇♀️
もう要らんかもしれませんが、一応。
(3)も(2)と同様に動径で考えれば
θ-θ'=2nπ+π
θ-(-2θ)=π+2nπ
θ=π/3+(2π/3)n
0<θ<2πより
0<π/3+(2π/3)n<2π
-1/2<n<5/2
n=0,1,2
θ=π/3,π,5π/3
真面目にやるのはめんどくさいので省略します。考え方だけ。
①2点A,Bを通る直線の式を求める。
y-sinθ={(-sin2θ-sinθ)/(cos2θ-cosθ)}(x-cosθ)
ただしcosθ≠cos2θすなわちθ≠2π/3,4π/3のとき
②式に(0,0)を代入してできたθの方程式を解く。
-sinθ={(-sin2θ-sinθ)/(cos2θ-cosθ)}(-cosθ)
-sinθ(cos2θ-cosθ)=cosθ(sin2θ+sinθ)
0=sinθcos2θ+cosθsin2θ
sin(θ+2θ)=0
sin3θ=0
θ=π/3,π,5π/3 (θ≠2π/3,4π/3)
(4).
(1)で見た通りOA=OB=1ですから、
∠AOB=60°になれば正三角形ですね。
(3)と同様にして、
θ-θ'=π/3+2nπ
θ-(-2θ)=π/3+2nπ
3θ=π/3+2nπ
θ=π/9+(2π/3)n
0<θ<πより
0<π/9+(2π/3)n<π
-1/6<n<4/3
n=0,1
θ=π/9,7π/9
面積は1/2×1×√3/2=√3/4ですよね。
1問1問ご丁寧に解説してくださって、本当にありがとうございました🙇♀️
(4)も理解することが出来ました！
ご丁寧にありがとうございます！
理解できました🙇♀️