Question

NurseCafe

青いフセン貼っているところの理由を教えて欲しいです。

備計 174(方程式の解, w=f(z) の表す図形)
(1) 方程式 z"=α の解は, 次の手順で考える。
I 解を z=r(cos0+isin0) (r>0) とする。
[2] 方程式の左辺と右辺を極形式で表す。
3 両辺の絶対値と偏角を比較する。
175 <円周上を重
マー1
た
(1) 0=
2の絶対値rと偏角0の値を求める。 0は 0<0<2π の範囲にあるものをき上げ
(2) 回転後も円
原点0を中心
る。
(2) |2-B=/2z-al の両辺を2乗して, |z-○P=□ の形に変形する。
(3) wをぇで表し, (2) の結果を利用する。
)点zは原点を
a1=12 が成
から
(1) 方程式の解 aの極形式を z=r(cos0+isin0) とすると
2=r(cos40+isin40)
I-2
0ミ
aーi
合ド·モアブルの定理。
-1= cos元+isinπ であるから
すなわち
r(cos 40+isin40)=cosπ+isinπ
2|=V2 に代
両辺の絶対値と偏角を比較すると
J20+
すなわち
r=1, 40=π+2kr (kは整数)
r>0 であるから
また
0=
π
k
ーπ
r=1
両辺を2乗して
0S0<2x の範囲で考えると, =0, 1, 2, 3 であるから
ゆえに
ww
3」
5
7
0=4
4'
ww
4
T0-
よって,求める解は
12+2i 二/2+/2i 二/2-/2i
よって
2-V2i
※本
2=
これは wキ1
したがって,月
2
2
2
2
対
(文
ウ
(2) |z-B|=V2 |z-al の両辺を2乗すると
|z-BP=2|z-alP
は,点2+iを
(z-B)(z-B)=D2(z-α)(z-a)
|zP-(2α-B)z-(2α-B)z+2|@Pー|8P=0
{z-(2α-B)}{z-(2α-B)}%3D|2α-Bド-2|af+\8P
|z-(2α-B)}=|2α-BP-2|aP+IBP
よって
径2の円であ
整理すると
変形すると
うになる。
(2)(1)の円の中
すなわち
点々は原点を中心とする円上を動くから
2α-B=0
原点を中心に
すなわち
B=2α
回転後の円のロ
ぜマ
このとき, ① は|2P=-2|aP+|2alP すなわち |2P=2|alf となる。
→また,(1)の結果より |a|=1 であるから, ①は
8= 2a をOに代入し、
2の方程式0が円を表す
かどうかを確認する。
(2+)(co
|zP=2
よって
となり, 点zは原点を中心とする半径(2 の円上を動く。
|2|=/2
2
よって
B=2α
よって,求め
(3) 0=
i+z
2の円である
参考 |20+i\=
複素数平面上
線上に直径が
一般に、2点
mキn のとき
この円をアポ
より
2
2=2w-i
これを②に代入すると
|2w-i=/2
よって -号
2
120-i|=/2 から
ゆえに,点wは点号を中心とする半径。
チー
2
の円を描く。
160
数学重要問題集 (理系)
S「S ミ s
本二田系の習入試問てな詳解とやさいま

13複素数
1174. 〈方程式の解,w=f(z) の表す図形〉。
iは虚数単位とする。
001)方程式 z=-1 を解け。
V(2) αを方程式 2*= -1 の解の1つとする。複素数平面に点βがあって
|2-B|=V2|2-e| を満たす点2全体が原点を中心とする円Cを描くとき, 複素数
Bをαで表せ。
メA(3) 点えが(2) の円C上を動くとき, 点iと2を結ぶ線分の中点uwはどのような図形を
描くか。
[15 鹿児島大·理系)
|175. 〈円周上を動く点zとw=f(z)の表す図形〉 2
複素数平面上の点えが原点を中心とする半径/2の円周上を動くとする。
YA1) 複素数 =
R-1
で表される点wの描く図形を複素数平面上に図示せよ。
スーi
ただし,iは虚数単位である。
九てりるでねりん
Yム(2)(1)の図形を, 原点を中心に一だけ回転して得られる図形を求めよ。
[17 静岡大·理]
応用問題
B
X176. <1の9乗根と3次方程式の決定〉
2元
2元
+isin
9
に対し, α=z+z° とおく。 f(x)は整数係数の3次多
複素数 z=cos
9
頂式で、 3次の係数が1であり, かつ f(α)=0 となるものとする。ただし, すべての
係数が整数である多項式を, 整数係数の多項式という。
(1) f(x) を求めよ。ただし, f(x)がただ1つに決まることは証明しなくてよい。
3ム程式
以外の2つの解を, αの2次以下の, 整数係数の多項式
[18 千葉大·理, 医]
一直線上にあるための条件〉
A(2-4/3i), B(3+V3i)を考える。 ただし, i を虚数単
側に,3辺
, OA をそれぞれ1辺とする正三角形

Answer 1

✨ Best Answer ✨

うどん

既習範囲では無いので、間違っているかもしれませんが、
zのどれをとっても、|α|=√{(±√2/2)^2+(±√2/2)^2}
=√(1/2+1/2)=1
となるからではないでしょうか？
もし、間違っていても返信をいただければ嬉しいです。

NurseCafe

なるほどです！ありがとうございました！