Question

takumi

至急お願いします

練習
右の図のように,半径rの半球面に円柱が内接している。ただ
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し、rは正の定数とする。この円柱の体積Vの最大値とそのと
きの円柱の高さを求めよ。
[南山大)

Answer 1

✨ Best Answer ✨

としさん

円柱の高さをx、底面の半径をyと置く。
体積 V = πxy²　①

円柱の中心で断面を取ると、添付図のようになり
三平方の定理から x² + y² = r²　となることが判る　②

①②から yを消去すると

V = πx(r² - x²) = π(r²x - x³) となるので

3次曲線の極値のときにVは最大となる。

V' = π(r² - 3x²) = 0 で x＞0 なので x = r/√3 のとき最大。

よって Vの最大値は

V = π{r² * r/√3 - (r/√3)³} = 2πr³ / 3√3

takumi

ありがとうございます