や例題127
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ア点(x, )が原点を中心とする半径1の円の内部を動くとき,点(x+y, xy) の動
例題 128 点が動く範囲(2)
会照 [東京大)
x*+y°<1
点(, )は原点を中心とする半径1の円の内部を動くから
すなわち
く範囲を図示せよ。
4放物線の上側の部g
岡 x+y=X,y=Yとおいて, 点(X, Y)の満たす関係式 を導けばよい。
ここで+=(r+)"-2xy を使うと
-2Y<1
X 1
22 0チ
のとる値にも防。
スーー
+y<1 であるから, x vの値には制限があり, x+y=X, xy=y
がつくはずである。その制限はx, yの実数条件で, 次のようになる。
r+y=X, xy=Y であるとき
I x, yは2次方程式 『-Xt+Y=0 の2つの解である。
2 x, yは実数→D=X°-4Y20
変数の変域にも注意
CHART 条件式
しかし
答案 x+y=X, xy=Y とおく。
点(x, y)は円 x+y?=1 の内部を動くから
ゆえに,(x+y)-2.xy<1 であり x-2Y<1
また,x, yは2次方程式 パーXt+ Y=0 の2つの実数解で
ある。この2次方程式の判別式をDとすると
+y°<1
点の座標は実数
のの条件だけでは
十分。例えば、
D=X°-4Y
1+i
ソー
1-i
2
x=
実数解をもつための条件は, D20 であるから
2,
とすると
X°-4Y20
2
x*+y°=0<1
w (4ytって, ①, @から, X, Yの満たす条件は
X_1<Ys-
X?
0SY」
x+y=1, xy=;
2
2
4
ゆえに,点(X, Y)すなわち点(x+y, xy)の動く範囲は,
である。このような場
合を除くために, 00
実数条件 D20 を忘
れてはいけない。
変数をす, yにおき換えて
<yS
2 2
したがって,求める範囲は,右の
図の斜線部分になる。ただし,
2
境界線は故物線y=ーを
2
含まず,他は含む。
1
2
2
f
V2
V2
2
128 座標平面上の点(
はしこ
く
分かりました！
ありがとうございました！
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