Question

あ

二次関数です

下の問題の解答が少し腑に落ちません…
少し論理的でないような…
どなたか分かりやすく教えていただきたいです🙇‍♀️🙇‍♀️

あとできればより丁寧な解答をつくっていただけるとありがたいです

題22 2つの2次方程式 x+mx+15=0, x°+5x+3m=0 が共通な実数
解をもつように定数 m の値を定め,その共通な解を求めよ。
共通な解をx=aとして, αとm の連立方程式を作って解く。
共通な解をx=α とおいて, 方程式にそれぞれ代入すると
…0, α'+5α+3m=0
Q?+ma+15==0
2
0-2 から
(m-5)α+15-3m=0
よって
(m-5)(α-3)=0
ゆえに
m=5 または α=3
[1] m=5 のとき
判別式をDとすると D=5°-4·1·15=-35<0 であるから,実数解をもたない。
[2] α=3 のとき
このとき,2つの方程式は
2つの方程式はともに x°+5x+15=0
2から
3°+5-3+3m=0
よって
m=-8
x?-8x+15=0, x°+5x-24=0
ゆえに
(x-3)(x-5)=0,(x-3)(x+8)=0
したがって, x==3 は共通な実数解である。
以上から
m=-8, 共通な解は x=3

Answer 1

✨ Best Answer ✨

鷹さん

自分にはだいぶ丁寧で論理的だと思えるのですが、どの当たりが腑に落ちませんか？
教えていただければ、そこを解説します。

鷹さん

正直これ以上丁寧な答案はそうそう作れないと思います。

あ

言葉足らずになってしまい、申し訳ありません

一年の頃この問題を先生に解説してもらった時に
このままの解答だと減点の恐れがあると言われて

与えられた二つの式が共通な解をもつならば
x=aとおいて
a^2+ma+15=0 ①
a^2+5a+3m=0②
が成り立つ必要がある
① ②を連立して解くとm=5 またはa=3
このとき逆に
1] m=5のとき　
…不適
2] a=3のとき
…成り立つ

よってm =-8、共通な解はx=3

といった感じで必要条件を使っていることを分かるように解答を作らないと論理の流れが見えにくくなると言った話を一年の頃に聞いた気がするのですが、かなり前の話なものでうろ覚えで、確信が持てず…

数学が得意な方の解答を参考にさせてもらいたいと思い質問させていただきました

初めからこの話を載せるべきでした
申し訳ありません

鷹さん

しっかりしたいい先生だったんですね。うやむやにするよりよっぽど良いですね。では解説します。
確かに、あさんがコメントで書いてくれた答えでも正解ですし、むしろ丁寧な答案と言えるでしょう。ただ必ずしも｢必要｣や｢逆に｣などと表現する必要はありません。必要十分条件を考えることは非常に大切ですが、答案に反映することを求められるのは、文系数学では｢軌跡｣と呼ばれる分野くらいかなと思います。その他の分野ではしっかり論理的であれば、書かなくても許されます。
その上で今回の問題はm=5またはａ=3と分かってから、どちらの場合か場合分けをして調べています。実はこの調べるという行為自体が、十分条件を調べているという行為そのものなのです。つまりことわらなくても、十分条件を考慮していることは伝わります。
したがって解答のような答案でも良いのです。
最後にあさんのように、細かい所を気にし、先生が言っていた古い記憶まで覚えているような方は必ず出来るようになると思います。これからも頑張ってください！｢細かいこと気にするな！｣と言われても、めげずに気にし続けてください。そのことが学力向上に繋がります。気になったことがあれば、質問してください。いつでも答えさせていただきます。

鷹さん

上からごめんなさいね🙏💦💦

あ

ご丁寧にありがとうございました🙇‍♀️🙇‍♀️
軌跡以外では必要条件、十分条件をあまり明確にしなくても大丈夫なんですね！今まで減点が怖くて説明に時間をかけ過ぎることが多々あったので少し安心しました。

最後のコメントありがとうございます‼︎とても励みになりました‼︎また何か分からないことがあれば是非よろしくお願いします🙇‍♀️🙇‍♀️🙇‍♀️