✨ Best Answer ✨
まずは簡単な(3)からやります.
3x^2-5xy-2y^2が因数分解できることに気づけば, (3x+y-2)(x-2y+3)=4[双曲線]と変形できます[恒等式を利用しよう].
ここでx, yは整数なので3x+y-2とx-2y+3も整数であることがいえます.
素因数分解を考えると, (3x+y-2, x-2y+3)=(-4, -1), (-2, -2), (2, 2), (1, 4)に限られます.
このうちx, yが整数となるものを探せばよくて, (x, y)=(1, 0), (1, 1)です[ここは自分でやりましょう].
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(2)は閉曲線である楕円であることが分かると思います. そこでxかyの範囲を絞る方法を考えるわけです.
xについて整理するとx^2-2(y+1)x+(3y^2-5y-8)=0. ここでyは整数なので整数係数の2次方程式であるといえます.
xは整数, 少なくとも実数なので, 判別式D/4=(y+1)^2-(3y^2-5y-8)≧0⇔2y^2-7y-9≦0⇔(2y-9)(y+1)≦0⇔-1≦y≦9/2
であることが必要です. yは整数なのでy=-1, 0, 1, 2, 3, 4に限られます. それぞれについてxについての2次方程式を解くと,
整数解となるものは(x, y)=(-2, 0), (0, -1), (4, 0)であることが分かりました[細かい計算は単純なので自分でやりましょう].
