Question

なな

mの最大値の部分がわからないのでどなたか教えてください

2軸が動く2次関数の最大最小
aを実数の定数とする.xの2次関数 y=x°-2ax+a+1(-1<xM1) につ
いて,
(1) この2次関数の最小値mを, aを用いて表せ. また, mの最大値を求めよ。
(2) この2次関数の最大値 Mを, aを用いて表せ.
(奈良大)
(解答
f(x)=x°-2ax+a+1 とすると, f(x)= (x-a)?-a+a+1 となるので, y=f(x) の
グラフは,軸がx=aで下に凸の放物線である。
軸x=aと定義域 -1SxS1の位置関係に注目して場合分けをして考える。
(1) 軸が -1Sx%1の範囲に含まれる場合と含まれない場合によって, 次の3つの場
合がある。
y=f(x)
ソーf(x)
y=f(x)
a-1
1
-1 a 1
-1
1a
(ア) a<-1
(イ) -1Sa<1
(ウ)1<a
(ア) a<-1のとき, 区間の左端で最小になり, m=f(-1)=3a+2
(イ) -1SaS1のとき, 頂点で最小になり, m=f(a)=-d°+a+1
(ウ) 1<aのとき, 区間の右端で最小になり, m=f(1)=la+2
以上より,
(a<-1のとき)
ーa+a+1 (-1Ma\1のとき)
(1<aのとき)
さらに, mはaの関数になっているから, 横軸を a軸として mのグラフを描くと
3a+2
場合分けは,
aS-1, -1<a<1, 1Sa
aS-1, -1SaM1, 1<a
などでもよい
m=
ーa+2
次のようになる. m
a<-1では
5
直線 m=3a+2,
4.
-1SaS1では
-1
放物線 m=-
1<aでは
2
1
直線 m=-a+2
を描けばよい
5
グラフより, aが変化するとき, mの最大値は
4

(ウ) 1<a
(ア) a<-1のとき, 区間の左端で最小になり, m=f(-1)=3a+2
(イ)-1SaS1のとき, 頂点で最小になり, m=f(a)=-a'+a+1
(ウ) 1<aのとき, 区間の右端で最小になり,m=f(1)=-a+2
以上より,
(a<-1のとき)
ーa+a+1(11Maハ】 のとき)
3a+2
場合分けは,
aS-1, -1<a<1, 1Sa
aミ-1, -1ハaハ1, 1Sa
などでもよい
m=
ーa+2
(1<aのとき)
さらに,m はaの関数になっているから、横軸を a軸として mのグラフを描くと
次のようになる.m
a<-1では
5
直線 m=3a+2,
4.
-1SaS1では
-1
放物線 m=ー
0ー
>a
1<aでは
直線 m=-a+2
を描けばよい
2
-1
5
グラフより, aが変化するとき, mの最大値は一
4

二次関数

Answer 1

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ログアウト済み

グラフの描き方が分かりませんか？

なな

是非そこから教えていただきたいです。。

ログアウト済み

3つのグラフを、画像のように点線で描いて、その後範囲に注意しながら実線でなぞると良いです。

なな

なるほど！では、このグラフを書くには、f(x)の式の頂点ではなく、新たにaの式で因数分解をしてaの式の頂点を求める必要があるということで良いのでしょうか？

ログアウト済み

そうです。m の最大値を求める際は、極端に言うと f(x) は関係なくなります。
m＝ の形の式のグラフを、am平面上に描いて考えます。
そのとき、m ＝ －a²＋a＋1 のグラフを描く必要が出てきますが、これは平方完成すれば描ける、ということになります。

なな

なるほど！！理解しました！本当にありがとうございます！