Question

セス

(2)の積分をdsではなく、√2dtで計算してはいけない理由はなぜですか？

08 演習題(解答は p.146)
(1)sを0Sss/2 を満たす実数とする. 直線y=ェと直線y=ーz+V2Sの交点をP
とする。直線y=lェ+/2sと曲線y=ーz"+2zの交点でェ座標が1以下の点をQと
し,Qのェ座標をtとする. このとき, 点Pと点Qの距離およびSを, tを用いて表し
なさい。
(2)直線y=ェと曲線y=ーa?+2.rで囲まれた図形を直線y=ェのまわりに回転させ
てできる立体の体積を求めなさい、土)
(2) x·PQ?を積分す
るが、何で積分するか(dt
かdsかそれ以外か)が
問題。
(首都大·理系)
135

S
(1) Pの座標を求めるとP
/2
る。
Qは、直線y=ーエ+/2s
と曲線y=ーェ+2zの交点
Y4
となる
例題
そのま
でェ座標が!だから、
P
ーt+/2s=-?+2t
ー+3t
演習
9(s)を
. S=
(2
t
間違
0
S1
座標を
リ=ェとy=ーz?+2.zの0
以外の交点を Aとすると, A(1, 1)である。0Sss/2
よりPは線分OA上を動き,図からQはy=-z'+2.ェ
の弧OA 上を動く.
をで
題であ
として
よってtS であり, PQの傾きが-1であるから
網目部
N-a(ーリー -
ー?+3t
ーゼ+t
(= 半
PQ=/2
2
2
x{f(
(2) OP=s, OA=/2 であるから, 求める体積は
c/2
T-PQ'ds [積分変数をtに置換]
からて
DIG)
OVー0
とする
ー-PQa [Q=Aのときt=1]
一
(-2P+)(-24+3)di
-2t+3
-dt
V2
との
9
歳
ラメー
ではa
めると
"2 J(-25+7*-8P+3/")dt
2/2
2
7
8
3
OP
2/2
6
5
4
3
2,2
3
30/2
■斜めの回転体の公式が実はある(r 「解法の探求·徴
積分」p.57 など)のだが, この公式を使うことはないと
考えてよい(例題や演習題のように解法が指定されてい
る問題が大半)。
この
SO120
交点に
回転軸がェ軸になるように回転してみると, 1e
H(0,
F
,9(s)
Q
9(s) (8 )
Q
P
a
回転体の体積は
P

Answer 1

さくたす

d sというのは sの関数を積分するという意味なので、P Qはtの関数ですので、dtにする必要があります。

セス

すみません。それは分かるのですが、僕は(2)の解説の2行目の積分のところのdxをいきなり√2dtにして計算したのですがどこが間違いですか？

さくたす

解いた答案をみてないので√2dtがどこから出てきたのかわからないので間違いかどうかを判断する事ができないです。すみません。
一応解説の2行目のところに日本語を足して書いときましたので参考にして下さい

セス

OP=√2tなのでdsの代わりに√2dtとおきました。これではなぜダメなのでしょうか？

さくたす

OPってSじゃないですか？
先のほどの上の説明見ていただければいいのですが、簡単な問題で以下に記します。
あなたのやり方だとバツの方です。

さくたす

これです。

セス

OSは√2tと表せるのでds=√2dtにはなりませんか？

さくたす

なりません。
dsを出すためのやり方は2個上の写真にあります。