n=12のときの正三角形は4つ。
この時のPの点はn＝1,5,9 2,6,10 3,7,11 4,8,12
正三角形を作るには、3点の間が等距離にないと作ることができません。つまり、Pは3の倍数でないと正三角形は作れないことがわかります。
したがって、正三角形が作ることができるのは、n=15,18の2つだから、作ることができないのはn=13，14，16，17の４つ。
n=12のときの直角三角形は60個。
この時のPの点は、ちょうど真向かいにある点(1と7，2と8，3と9、4と10、5と11、6と12)を必ず取り、さらにそれぞれの組に対し、10個の直角三角形が作れるので、6×10＝60個
そう考えると、直角三角形を作るには、真向いの点がないと絶対に作れません。
つまり、nが奇数の場合は直角三角形が作れないことがわかります。
よって、n=13、15、17の3つ。
今回は三角形の話なので、三角形に限って言うと、
三角形の特徴を捉えることです。
正三角形なら、すべての辺の長さが同じ→3つの頂点の間隔が同じになる→3で割り切れる(3の倍数になる)
直角三角形なら、1つの角が直角→円周角が90°になるとき直径を通る→必ず円の両端を通る
みたいに。
以下は問題とは関係ありませんが、追記していただいた文への返答です。
数学は、問題を読んだときに、いかにこれまで使ってきた解法の何が使えるかを、翻訳するんです。
翻訳とは、上で述べたような、正三角形になるためにはどうなればいいのか、こうなるための条件は…という風に、思考の変換をしていくんです。数学が得意な人はこれが自然にできますが、苦手な人は難しいんです。
じゃぁ苦手な人は何をすればいいかというと、このような翻訳の訓練をしていくんです。
例えば二次方程式の実数解が2つになるためには？と言われたときに、「判別式！」と出てくると思います。では、二次関数がx軸と2つの交点があるためにはどういう条件がある？と言われた時にも判別式を使います。これも簡単な翻訳になります。
そもそも、判別式とはどういうときに使うんでしょう？
判別式とは、関数の位置関係や解の判別を表しています。こういった本質的なことを知っておくことも数学で点数を取るために必要なことなんです。
もちろん、問題の量をこなさなければ、こういったものは得られませんが、問題を解いて解説を読んだときに、「どういう思考をしているか」の方が重要だったりします。解法にはなぜその解法を採用したかの理由があります。その理由がちゃんと理解できていなければ、いくら問題を解いても定期テストは良いかもしれませんが、入試では太刀打ちできません。
問題の本質をとらえて、問題文を翻訳し、どの解法を採用するかを考えたうえで、計算や試行、証明などを行っていくことが数学が強くなる近道だと、自分は思っています。
ご丁寧にありがとうございます！
三角形を1つ~3つ作れる場合が(今回のnの条件で)ないということは、どうしたら分かりますか
教えてくださった通りに考えれば、分かりました。ですが、いざ自分でやると、1個だけ作れるかもしれない！！とか思って全ての通りを実際に数えてしまう気がします。
問題の量をやって行くうちに得られる経験から分かるようになっていくのでしょうか、、、。