Question

ぽんきち

なぜ、aとbが1以外に正の公約数を持つと無理数になるのですか？

応用V2 は無理数であることを証明せよ。
例題
〈解説)(2 は無理数でない, すなわち有理数であると仮定して矛盾を遺
1
く。また, 60ページの例題1で証明した次のことを用いる。
nを整数とするとき, n'が偶数ならば, n は偶数である。
証明 /2 は無理数でない, すなわち有理数であると仮定すると,
1以外に正の公約数をもたない2つの自然数 a, bを用いて
a
V2
b
ニ
と表される。このとき
a=V26
両辺を2乗すると
a=26°
よって, α'は偶数,したがって, aも偶数である。
ゆえに, aは, ある自然数cを用いて
a=2c
の
と表される。② を①に代入すると
4c?=26°
すなわち
6=2c
よって, 6?は偶数, したがって, bも偶数である。
aとbはともに偶数であり, 公約数2をもつ。
このことは, aとbが1以外に正の公約数をもたないことに
終
矛盾する。したがって, V2 は無理数である。