Question

おもち

この問題の演154で（1）の、マーカー引いたところはなんで必要なんですか！×9して、9[x]≧18にしたらダメなのか教えて欲しいです！！

ので,この直
が(1)のグラフと
-1 O
4),
1 2 x
共有点をもつの
X-1
, -2)
-2y=2x-1
は,図より
-1<k≦0
1)
ときで,
のとき,
....⑰
154
(1) x2 ≧0 だから, 左辺 ≧ 18
よって, 9[x]18
∴
[x]≧2
(2) n≦x<n+1 (nは2以上の自然数)
のとき
[x]=n だから、①はx=9n-18
ここで,n'≦x< (n+1) だから

(2)i) 3≦x<4のとき
[x]=3 だから,①は,x2+18=27
x²=9
.
i) 4≦x<5のとき
x=3
[x]=4 だから, ① は,x2+18=36
.x2=18
) 5≦x<6のとき
.. x=3√2
[x]=5 だから, ①は,x2+18=45
x2=27
iv) x=6 のとき
.x=3√3
[x] =6 だから, ①は,x2+18=54
x²=36
.. x=6
以上のことより, x=3,32,3√36
<3≦x<6 の範囲を
「n≦x<n+1
のとき
[x]=n」
259
が使えるように場合
分けする
ポイント
ガウス記号をはずす (視界から消す) とき
① x-1<[x]≦ x を使うと, 不等式がでてくるが
文字は増えない
(2) x=n+α(n: 整数 0≦α<1) で場合を分ける
と等号のまま処理できるが, 文字が増える
演習問題 154
この設問はポイント①の流れでつくられていますが、ポイント②の
流れにつくりかえると, 演習問題 154 のような設問になります.
154 の方程式 ①について,
(1) ①の解は [x] ≧2 をみたすことを示せ.
(2)2以上の自然数とするとき,n≦x<n+1 をみたす①の解
xnで表し, nのとりうる値の範囲を求めよ.
(3) ①の解をすべて求めよ.

154 ガウス記号 (II)
方程式 x 2 +18=9[x]………① について,次の問いに答えよ.
ただし, [x] は xを超えない最大の整数を表す.
(1) 実数xに対して, x-1<[x]≦x が成りたつことを利用して
①の解は 3≦x≦6 をみたすことを示せ.
(2) 方程式 ①をみたす』をすべて求めよ。
精講
(1) 153 のポイントにある公式に, ① を代入して得られる不等式を
利用せよ,ということです.
(2) (1)は「①の解が 3≦x≦6」 という意味ではなく 「①の解は 3≦x≦6 の範囲
に存在する」 という意味です.すなわち, 必要条件です.しかし, このように
幅のしぼり込みができると, しぼり込んだ範囲を 「n≦x<n+1 (n: 整数)」
と場合分けすることによって, 方程式 ① は, 「=」 のままで, ガウス記号をは
ずす (視界から消す) ことができます。
解答
(1) x-1<[x]≦x だから,
9(x-1)<9[x]≦9x
∴.9(x-1)<x2+18≦x
よって,
..
9(x-1)<x2+18
x2+18≦x
x2-9x+27>0 ....2
x2-9x+18≦0
......(3)
9 12 27
x2-9x+27=x-- + ->0より,
4
②はすべてのxで成りたつ.......②´
また,③より (x-3)(x-6)≦0
.. 3≦x≦6 .....③、
②③'より、①の解は 3≦x≦6 をみたす.
<x-1<[x]≦x
の辺々を9倍する
-①を代入する
③'から②を調べな
くても(1)の成立がわ
かる

数ia整数