Question

ほく

根本的な事なんですけど、nを3k.3k＋1.3k＋2で表すのはなぜですか？

正の整数 nでn"+1が3で割り切れるものをすべて求めよ。
7
[類 一橋)
(p.21 EX
練習

練習
7
そ3 で割った余りは0か
1か2である。
nを3で割ったときの商をgとすると, n は
39, 3q+1, 3q+2 のいずれかで表される。
[1| n=3q のとき, q>1であり
239-1
そn"+1=3×(整数)+1
n"+1=(3q)+1=3(3*4-1.g)+1
3q-122, 3q23であるから, 33q-1.g39 は整数である。
よって、n"+1は3で割り切れない。
[2] n=3q+1のとき, q>0であり
n"+1
そ二項定理を利用。
=(3q+1)9+1 +1
=3g+1Co(3g)* +
=3×(整数)+2
そ
の各項は
39+1
39
39+1C;(3q)+3g+1C3q3q+3q+1C3q+1+1
3×(整数)の形。
よって, n"+1は3で割り切れない。
[3] n=3q+2のとき, q20であり
n"+1
=(3q+2)9+2+1
=39+2Co(3g) + 3g+2C,(3g)**1.2+
+39+2C3g+2*23q+2+1
=3×(整数)+2°q+2+1
ここで
299+2+1
=(3-1)9+2+1
=3g+2C0394+2+ 3qg+2C13%q+1(-1)+ +3g+2C3g+1*3(-1)9+1
+3g+2C39+2(-1)9+2+1
=3×(整数)+(一1)9+2-1
(-1)+1の値について調べると
(i) gが偶数,すなわち q=2k (kは0以上の整数)のとき
そ二項定理を利用。
39+
そ
の各項は
39+2
+ 3g+2C3g+1 3q·2°q+1
3×(整数)の形。
そもう一度二項定理。
そ_の各項は
3×(整数)の形。
Pt
_」 (-1)興数 1
奇数
を利月
するために,偶奇に分い
39+2
6k+2
る。
このとき,D, ②から, n"+1 は3で割り切れない。
(i) gが奇数,すなわち q%=2k+1(kは0以上の整数)のと
き
39+2
6k+5
そ6k+5 は奇数。
このとき,0, ②から, n"+1 は3で割り切れる。
[1]~[3] から, n"+1が3で割り切れるのは,
n=3(2k+1)+2=6k+5 (kは0以上の整数)のときである。
そ[3](i)のときのみ。

二項定理

Answer 1

✨ Best Answer ✨

ぽん

n^n+1を"3"で割る余りなのでnを3k,3k+1,3k+2で表すのが手間を取らない手法となるからです。たとえばnを4k,4k+1,4k+2,4k+3だと場合分けも増える上にmodの議論も増えます。

ほく

ありがとうございます🙇‍♀️

Answer 2

aporon

全ての自然数は3で割った余りが0か1か2に分類されます
それらのパターンで3の倍数であることが確認できれば、全ての自然数で3の倍数ですね

ほく

ありがとうございます🙇‍♀️