Question

頑張っチャウ

⑷でこれだと下3桁目も０の場合を含みませんか？

15【選択問題(数学A 整数の性質)】 (配点 50点)
X, yの方程式
7x+5y=1
がある。
(1)(*)を満たす整数の組(x, y)を1組求めよ。
2)(*)の整数解をすべて求めよ。
3) 3進法で表された数12210()を10進法で表せ,また, 10進法で表された数 225 を
3進法で表せ。
4))(*)の整数解のうち, 次の2つの条件(I). (m)をともに満たす(x, y) は何組あるか。
(I) 1Sx+y<1000.
(I) x+y を3進法で表したとき, 下2桁が00となる。

4思考力判断力
-道しるべ
『4)の6以降の別解
x+y=-2k-1(kは整数)が9の格数のとき。整数nを用
いて、
まず条件(I)を10進法の数の条件に言い換える。
*+y は整数であるから,条件 (I)について,x+y を3進
法で表したとき,下2桁が00 となる条件は, 10進法での表
● 条件D:ェ+yを3進法で表
したとき。下2桁が 00 となる。
ー2k-1=9n
現に言い換えると,
と表せる。これより,
(がたント!
ギ+yが 3°(-9)の倍数できが。
この形に
-2k-9n- 1
-2-4-9-(-1)-1/-し
より,(k,n)=(4, -1) は方程式9の整数解の1つである。
5についての参考があります。
ちってに/-
となることである。
(2)の結果より,(*)の整数解は,
e x3+Au×3"+.a×3tR子ta。
愛225 を
(x, )=(5k+3, -7k-4)(kは整数)3西
9-9より、
と表せるから、
-2(k-4)-9(n+1)=0.
るか。
エ+y=(5k+3)+(-7k-4)
X13-a.x3h+Amx3"4.thx3+0t0
これより,
2(-k+4)=9(n+1)。
=-2k-1
2と9は互いに素であるから、 Dより,一k+4 は9の倍数
である。よって、整数pを用いて、
=2(-k)-1
…6
である。
これより,
hからった
気づt。
◆(4)の6以降降の別解が後にあ
ります。
ーk+4=9p
すなわち、
◆9は奇数であるから。
9の倍数 かつ奇数
である整数は,
とキンは奇数。
の
12
k=-9p+4
でちり,かつ, すべての奇数の値をとる。
つかつのより,
と表せる。
9×(奇数)
の形で表される.
Dと2より,
n+1=2p.
x+y は,9の倍数 かつ 奇数
3
n=2p-1.
であるから,!を整数として、
2, Bより,9の整数解は,
(k, n)=(-9p+4,2p-1) (pは整数)。
このとき、
大メ=9(2-12で (8
と表せる。
このとき,条件(1)より,
x+y=-2k-1
◆ 条件(1):15x+y$1000,
159(21-1)S1000. I -0+ 0
=-2(-9p+4)-1
5
= 18p-9
Sis 1009
● 1009
18
ル
-56+8
(a,(k=0, 1, 2, …, n)は0, 1, 2のいずれかで, a,キ0)
であるとすると, x+y は10進法では,
x+y=a,×3"+aa-,×3"-1+…+Qz×3"+a,x3'+a。
と表せる。
3進法で表したときの下2桁の数は a,a。であるから、
1は整数であるから,
ケル
0
1sls56.
これを満たす整数1は56個ある。
8より,これら 56個の1の値に対し, 奇数 x+y の値は
56 個定まり,6より, kの値も 56個定まる。
したがって,(*)の整数解 (x, y) のうち, x+y が9の倍数
となり,条件(I)を満たすものは, 56組ある。
以上より,(*)の整数解のうち, 条件(1), (Ⅱ) をともに満たす
(x, y)は,-
◆x+y=9(2/-1).
…8
10-
◆x+y=2(-k)-1.
◆(*)の整数解は,
(x, y)= (5k+3, -7k-4).
a,= a=0 のとき、
x+y=a,×3"+a=-1×3"-1+…+a;×3"+0x3'+0
= 9(a,×3"-2+aa-(×3"-3+……+a)
(々は整数)
と表せる。
このとき, a,×3"12 +an-1×3"-3
ら,x+y は9の倍数である、
+··+az は整数であるか
56 組。
…(答)
(4)の5についての参考終り)

Answer 1

✨ Best Answer ✨

aporon

2000も下2桁は00ですね

頑張っチャウ

ありがとうございます