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x=1を動かすというと変な感じもしますが、aを動かすのもx=1を動かすのも最大値を調べるうえでは大して違いはないので、aを動かす代わりにx=1を動かしています。なぜならaを動かすよりx=1を動かす方が圧倒的に楽だからです。
x=1を動かすと次のように場合分けできます。
[i]1＜a/3
区間内に極大値を含まない。
区間右端x=1で最大値をとる。
M(a)=f(1)
[i']a/3=1
M(a)=f(a/3)=f(1)
[ii]a/3＜1＜4a/3
区間内に極大値を含む。
かつ区間右端の値f(1)は極大値f(a/3)[=f(4a/3)]より小さい。
極大x=a/3で最大値をとる。
M(a)=f(a/3)＞f(1)
M(a)≠f(1)
[iii]4a/3≦1
区間内に極大値を含むが、極大値f(a/3)[=f(4a/3)]よりも区間右端の値f(1)の方が大きいまたは等しい。
M(a)=f(1)
よって、M(a)=f(1)となるのは[i],[iii]のとき。
すなわち1≦a/3, 4a/3≦1
ただしa＞0であるから、
0＜a≦3/4, 3≦a
x=1を動かして考えるわけですが、その際のポイントは最大値をとる場所の変わり目です。今回の場合、基本的に最大値をとるのはf(1)かf(a/3)のどちらかです。x=1を動かしながら、M(a)=f(1)となる範囲、M(a)=f(a/3)となる範囲を見抜きましょう。
重要なポイントは、
①区間内に極大値を含むかどうか。
②f(1)がf(a/3)[=f(4a/3)]より大きいかどうか。
の2つです。これらが場合の分け目になります。
理解することが出来ました。丁寧に解説していただき、ありがとうございました。